Una fracción continua reescribe un número como una pila anidada de divisiones enteras, [a0; a1, a2, ...], y en el proceso revela las mejores aproximaciones racionales posibles a ese número en cada nivel de precisión. Esta guía explica cómo se construye la expansión, para qué sirven los convergentes, y cómo las fracciones continuas se relacionan con dos calculadoras que quizás ya estés usando: el algoritmo de Euclides detrás de la Calculadora de MCD y MCM, y las fracciones simples.
Cómo se construye la expansión
La expansión funciona separando repetidamente un número en su parte entera y su resto fraccionario, luego invirtiendo el resto y repitiendo. Formalmente, an = floor(xn) y el siguiente valor es xn+1 = 1 / (xn - an). Pasar una fracción exacta por este proceso es idéntico a ejecutar el algoritmo de Euclides sobre su numerador y denominador — la secuencia de cocientes producida es exactamente la secuencia de cocientes parciales de la fracción continua. Esa es también la razón por la que la expansión de todo número racional termina: el algoritmo de Euclides siempre llega a un resto de 0 en un número finito de pasos.
Para qué sirven los convergentes
Truncar la expansión después de n términos da un convergente pn/qn, calculado a partir de la recurrencia pn = an·pn-1 + pn-2 y qn = an·qn-1 + qn-2. Los convergentes son demostrablemente las mejores aproximaciones racionales disponibles para su tamaño de denominador — ninguna otra fracción con un denominador tan pequeño se acerca más. Esta es exactamente la razón por la que 22/7 y 355/113 son las aproximaciones clásicas de pi, por la que las propuestas de reforma del calendario usan convergentes de fracción continua del año solar para decidir las reglas de años bisiestos, y por la que los trenes de engranajes mecánicos se diseñan alrededor de convergentes cuando una razón exacta es impráctica de fabricar.
Expansiones terminantes frente a infinitas
Todo número racional a/b tiene una fracción continua finita, y el último convergente siempre reconstruye a/b exactamente — la pestaña Pasos de esta calculadora muestra esa terminación en vivo. Los números irracionales, en cambio, tienen expansiones infinitas que nunca se repiten hasta coincidir exactamente; esta herramienta limita la visualización a tu configuración elegida de términos máximos (hasta 30) y etiqueta el resultado como limitado en lugar de exacto siempre que la expansión verdadera continúe. Si estás trabajando con fracciones simples en lugar de expansiones, la Calculadora de Fracciones y la Calculadora de Factorización Prima cubren terreno relacionado, y la Calculadora de Módulo expone la operación de resto sobre la que se construye esta expansión.