A sequência de Fibonacci — 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... — é um dos padrões mais famosos da matemática. Cada número é a soma dos dois anteriores, e quanto mais fundo você vai, mais a sequência revela: uma fórmula fechada, uma ligação surpreendente com a proporção áurea e aparências em toda a natureza. Esta calculadora encontra qualquer termo com exatidão, lista a sequência e visualiza a convergência da proporção áurea.
Como a sequência é construída
A regra não poderia ser mais simples: comece com 0 e 1, então cada novo termo é a soma dos dois anteriores. Isso dá 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 e assim por diante. Como cada termo depende apenas dos dois últimos, você pode calcular F(n) subindo de baixo para cima - que é exatamente o que esta calculadora faz, usando números inteiros de precisão arbitrária para que nada seja arredondado. Os termos crescem aproximadamente de forma geométrica: cada um é cerca de 1,618 vezes o anterior, o que é o primeiro indício da proporção áurea escondida dentro da sequência.
Fórmula de Binet: um atalho para qualquer termo
Você não precisa fazer um loop para encontrar F(n). A fórmula de Binet fornece diretamente: F(n) = (phi^n - psi^n) / sqrt(5), onde phi = (1 + sqrt(5))/2 é a proporção áurea e psi = (1 - sqrt(5))/2 é seu conjugado. Parece que deveria produzir uma confusão irracional, mas sempre resulta num número inteiro, porque as partes irracionais se cancelam. Desde |psi| é menor que 1, o termo psi^n desaparece à medida que n cresce, então F(n) é simplesmente o número inteiro mais próximo de phi^n / sqrt(5). Esta calculadora mostra a estimativa de Binet ao lado do valor exato de BigInt para que você possa ver como os dois concordam.
A conexão da proporção áurea
Divida qualquer número de Fibonacci pelo anterior — 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 — e as respostas chegarão a phi ≈ 1,6180339887, a proporção áurea. As proporções se alternam, ultrapassando e depois diminuindo o phi, com a lacuna diminuindo rapidamente. Phi é especial por si só: é o único número positivo onde phi = 1 + 1/phi, e aparece em pentágonos, na geometria das espirais e na arte e arquitetura que buscam proporções equilibradas. A guia Proporção Áurea nesta página traça a convergência diretamente em relação a uma linha de referência em phi.
Números de Lucas, índices negativos e natureza
Mantenha a mesma recorrência, mas mude as sementes e você terá uma família inteira de sequências. As sementes 2 e 1 fornecem os números de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...), que se interligam com os números de Fibonacci em identidades elegantes. A sequência ainda funciona ao contrário: a regra negafibonacci F(-n) = (-1)^(n+1) F(n) a estende para índices negativos com sinais alternados. Na natureza, os números de Fibonacci contam as espirais nas cabeças dos girassóis e nas pinhas e o arranjo das folhas ao redor de um caule - não porque a natureza "conhece" a sequência, mas porque empacotar sementes ou folhas no ângulo dourado (derivado de phi) é uma maneira eficiente de preencher o espaço.