O fatorial de n, escrito n!, é o produto de todo número inteiro de 1 até n, e conta quantas maneiras você pode ordenar n coisas distintas. É uma das ideias mais úteis em contagem (combinatória) e aparece em todos os lugares, desde probabilidade até algoritmos. Esta calculadora calcula n! exatamente para números grandes e se estende a permutações, combinações e ao fatorial duplo.
O que significa um fatorial
não! responde a uma pergunta simples: em quantos pedidos diferentes você pode organizar n itens distintos? Com 3 livros são 3! = 6 pedidos; com 5 são 120; com 10 há mais de 3,6 milhões. O raciocínio é o princípio da multiplicação: você tem n opções para a primeira posição, n-1 para a segunda e assim por diante até 1. Multiplique-as e você obterá n!. Como cada item extra multiplica a contagem por um número maior, os fatoriais crescem mais rápido do que qualquer exponencial.
Por que 0! = 1
Parece estranho que o fatorial de zero seja um, e não zero. Existem duas boas razões. Primeiro, existe exatamente uma maneira de organizar um conjunto vazio — o arranjo vazio — então a contagem deve ser 1. Segundo, definindo 0! = 1 mantém a fórmula de combinação nCr = n! / (r!(n-r)!) trabalhando nas bordas: escolher 0 itens de n, ou todos os n itens, deve dar exatamente 1 caminho, e isso só dá certo quando 0! = 1. Os matemáticos chamam isso de produto vazio, e um produto vazio é sempre 1.
Permutações vs. combinações
Ambos escolhem r itens de um conjunto de n, mas diferem quanto à ordem ser importante. Uma permutação (nPr = n!/(n-r)!) trata ABC e CBA como diferentes – use-a para posições finais em uma corrida ou códigos PIN. Uma combinação (nCr = n!/(r!(n-r)!)) os trata como iguais - use-a para números de loteria, mãos de pôquer ou um comitê onde os assentos não estão rotulados. Porque cada combinação pode ser reordenada r! maneiras, nPr é sempre r! vezes nCr, então as permutações nunca são menores que as combinações.
Fatoriais duplos e n muito grande
O fatorial duplo n!! multiplica todos os outros termos: 9!! = 9 x 7 x 5 x 3 x 1 = 945. Aparece em fórmulas para volumes de esferas e certas integrais. Para n muito grande, o fatorial exato tem milhares de dígitos, então esta ferramenta também relata a aproximação de Stirling — ln(n!) ~= n ln n - n + 0.5 ln(2 pi n) — que fornece a contagem de dígitos e a ordem de grandeza. Mesmo assim, os dígitos exatos são calculados com números inteiros de precisão arbitrária, portanto, nada é arredondado.