What does the Moment of Inertia Calculator actually compute?

It computes I, the rotational equivalent of mass, for a chosen shape (point mass, rod, disk, sphere, hoop, or cylinder) given that shape's mass and characteristic radius or length. I is measured in kilogram-meters-squared (kg·m²) and tells you how much torque it takes to change the object's spin rate.

Why is the disk formula I = 1/2 m r² but the hoop is I = m r²?

Both have the same mass and radius, but a hoop concentrates all of its mass at the rim (distance r from the axis), while a disk spreads its mass evenly from the center out to r. Because moment of inertia weights mass by the square of its distance from the axis, the hoop's mass-at-the-rim resists spinning twice as much as the disk's spread-out mass.

What is the parallel-axis theorem and when do I need it?

The parallel-axis theorem, I = I_cm + m d², lets you find the moment of inertia about any axis that runs parallel to (but offset by distance d from) an object's center-of-mass axis. You need it whenever the actual rotation axis — a hinge, a mounting bolt, a pivot point — isn't through the object's own center of mass.

Why do a solid sphere and a hollow sphere give different results for the same mass and radius?

A solid sphere's mass is distributed throughout its volume, so most of it sits closer to the center than the outer radius r. A hollow sphere (thin shell) has essentially all of its mass at distance r. Since I grows with the square of distance from the axis, the hollow sphere's coefficient (2/3) is larger than the solid sphere's (2/5) even though both share the same m and r.

What units does the calculator expect?

Mass in kilograms (kg) and radius or length in meters (m). The result, I, comes out in kilogram-meters-squared (kg·m²), the standard SI unit for moment of inertia. If your measurements are in other units, convert them to kg and m before entering them.

Can I share my results?

Yes — the calculator encodes your selected tab, shape, mass, radius/length, and (on the Parallel Axis tab) axis offset into the page URL. Copying the URL, or clicking the Share button, is enough to hand a specific scenario to someone else.

Calculadora de Momento de Inercia — Formas Comunes

📋

Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

3 pasos

1

Elige una forma e ingresa masa y radio/longitud

En la pestaña Por Forma, elige la forma del objeto — masa puntual, varilla, disco, esfera, aro o cilindro — luego ingresa su masa y su radio o longitud característica.

2

Lee el momento de inercia

La tarjeta de resultados muestra I en kg·m² junto con la fórmula exacta usada, para que puedas ver qué números determinaron la respuesta.

3

Desplaza el eje o compara formas

Cambia a Eje Paralelo para mover el eje de rotación fuera del centro, o a Comparar para ver cómo cambia I entre las ocho formas con la misma masa y radio.

⚡

Referencia

Fórmula y metodología

7 fórmulas

Masa puntual

I = m r^2

Una sola masa m que orbita a una distancia fija r del eje. La fórmula de cualquier otra forma se construye sumando esta expresión sobre toda su distribución de masa.

Varilla delgada

I = (1/12) m L^2 (respecto al centro) | I = (1/3) m L^2 (respecto a un extremo)

Una varilla uniforme de longitud L y masa m gira cuatro veces más difícil respecto a un extremo que respecto a su centro, porque más de su masa se ubica lejos de un eje en el extremo.

Disco o cilindro sólido

I = (1/2) m r^2

Un disco o cilindro uniforme de radio r que gira alrededor de su eje central de simetría. La masa se distribuye desde el centro hasta r, no se concentra en el borde.

Esfera sólida

I = (2/5) m r^2

Una bola sólida uniforme de radio r que gira a través de su centro. La mayor parte de la masa de una esfera está más cerca del eje que la de un disco, por lo que su coeficiente es menor.

Esfera hueca (cascarón delgado)

I = (2/3) m r^2

Un cascarón esférico delgado de radio r, con esencialmente toda la masa a distancia r del centro, por lo que resiste la rotación más que una esfera sólida de la misma masa.

Aro o anillo delgado

I = m r^2

Un anillo delgado de radio r con toda la masa concentrada en el borde — el coeficiente más grande de cualquier forma a una masa y radio dados.

Teorema del eje paralelo

I = I_cm + m d^2

El momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a uno que pasa por el centro de masa es igual a I_cm más m por el cuadrado de la distancia de desplazamiento d entre los dos ejes.

📖

Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Momento de inercia (I) Una medida de cuánto resiste un objeto un cambio en su velocidad rotacional, en kg·m². Cumple el mismo papel para la rotación que la masa cumple para el movimiento en línea recta.

Inercia rotacional Otro nombre para el momento de inercia — la resistencia que un cuerpo giratorio ofrece a un cambio en su velocidad angular cuando se aplica un torque.

Eje de rotación La línea imaginaria alrededor de la cual gira un objeto. El mismo objeto tiene un momento de inercia diferente para cada eje que elijas.

Teorema del eje paralelo Una fórmula abreviada, I = I_cm + m d^2, que halla I respecto a cualquier eje paralelo al eje del centro de masa sin volver a derivar la integral desde cero.

Radio de giro La distancia k desde el eje a la cual podría concentrarse toda la masa de un objeto para producir el mismo I, definida por I = m k^2.

Distribución de masa Cómo se distribuye la masa de un objeto respecto al eje de rotación. Dos objetos con masa igual y radio exterior igual pueden tener un I muy diferente si su masa se ubica más cerca o más lejos del eje.

Aceleración angular La tasa de cambio de la velocidad angular, relacionada con el torque y el momento de inercia por τ = I α — la contraparte rotacional de F = m a.

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

💿

Estudiante de física

Disco sólido en una mesa giratoria

Forma Disco sólido Masa 2 kg Radio 0.5 m

I = (1/2)(2)(0.5)^2 = 0.25 kg·m². Como la masa del disco se distribuye desde el centro hacia afuera en lugar de concentrarse en el borde, resiste el aumento de giro menos que un aro de la misma masa y radio.

🪐

Aficionado a la astronomía

Modelar un planeta como una esfera sólida

Forma Esfera sólida Masa 5 kg (modelo a escala) Radio 2 m

I = (2/5)(5)(2)^2 = 8 kg·m². El coeficiente 2/5 es el menor de las formas comunes porque la masa de una esfera está, en promedio, más cerca de su propio centro que la masa de un disco o un cascarón.

⚙️

Ingeniero mecánico

Volante desplazado de su eje de montaje

Forma Disco sólido, Icm = 0.25 kg·m² Masa 2 kg Desplazamiento del eje (d) 1 m

I = Icm + m d^2 = 0.25 + (2)(1)^2 = 2.25 kg·m². Mover el eje de rotación solo 1 m fuera del centro aumentó el momento de inercia nueve veces, mostrando cuán sensible es I a la ubicación del eje, no solo a la forma.

📄

Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Momento de Inercia

3 capítulos · 4 min de lectura

El momento de inercia (I) indica qué tan difícil es acelerar o frenar el giro de un objeto, de la misma forma que la masa ordinaria indica qué tan difícil es acelerarlo o frenarlo en línea recta. Esta calculadora obtiene I para las siete formas más comunes de los libros de texto, además de cómo cambia I cuando el eje de rotación se desplaza fuera del centro de masa.

Cómo funciona la Calculadora de Momento de Inercia

La fórmula de cada forma proviene de integrar r² sobre cada porción de masa del objeto, donde r es la distancia de esa porción al eje. Una masa puntual concentra todo a una distancia, dando el caso más simple, I = m r². Las formas extendidas — varillas, discos, esferas, aros — distribuyen la masa a lo largo de un rango de distancias, por lo que sus fórmulas llevan un coeficiente fraccionario (1/12, 1/3, 1/2, 2/5, 2/3 o 1) que captura cómo se distribuye esa masa en relación con r o L. Estos son resultados estándar de la mecánica de cuerpo rígido para objetos de densidad uniforme respecto al eje nombrado para cada forma.

Entradas y qué significan

La masa (m) es la masa total del objeto en kilogramos. La entrada de radio o longitud (r o L) es el tamaño característico del objeto — el radio para discos, esferas, aros, cilindros y la distancia de una masa puntual al eje, o la longitud completa para una varilla. En la pestaña Eje Paralelo, el desplazamiento del eje (d) es la distancia entre el propio eje del centro de masa del objeto y el nuevo eje respecto al cual realmente quieres I; un desplazamiento mayor aumenta I en m d², sin importar la forma del objeto.

Límites y casos extremos

Estas fórmulas asumen densidad uniforme y formas idealizadas — un volante real con radios, una esfera no uniforme o una varilla con pesos en los extremos tendrán un I diferente al que da la fórmula simple del libro de texto. La calculadora también asume unidades del SI en todo momento (kilogramos, metros, kg·m²); mezclar sistemas de unidades producirá silenciosamente una respuesta incorrecta. Para un cálculo de aceleración de giro impulsado por torque una vez que tienes I, consulta la Calculadora de Torque y la relación τ = I α.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Qué calcula exactamente la Calculadora de Momento de Inercia?+

Calcula I, el equivalente rotacional de la masa, para una forma elegida (masa puntual, varilla, disco, esfera, aro o cilindro) dada la masa y el radio o longitud característica de esa forma. I se mide en kilogramos-metro-cuadrado (kg·m²) e indica cuánto torque se necesita para cambiar la tasa de giro del objeto.

¿Por qué la fórmula del disco es I = 1/2 m r² pero la del aro es I = m r²?+

Ambos tienen la misma masa y radio, pero un aro concentra toda su masa en el borde (distancia r del eje), mientras que un disco distribuye su masa uniformemente desde el centro hasta r. Como el momento de inercia pondera la masa por el cuadrado de su distancia al eje, la masa del aro en el borde resiste el giro el doble que la masa distribuida del disco.

¿Qué es el teorema del eje paralelo y cuándo lo necesito?+

El teorema del eje paralelo, I = I_cm + m d², te permite hallar el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a (pero desplazado por una distancia d de) el eje del centro de masa de un objeto. Lo necesitas siempre que el eje de rotación real — una bisagra, un perno de montaje, un punto de pivote — no pase por el propio centro de masa del objeto.

¿Por qué una esfera sólida y una esfera hueca dan resultados diferentes para la misma masa y radio?+

La masa de una esfera sólida se distribuye por todo su volumen, así que la mayor parte está más cerca del centro que del radio exterior r. Una esfera hueca (cascarón delgado) tiene esencialmente toda su masa a distancia r. Como I crece con el cuadrado de la distancia al eje, el coeficiente de la esfera hueca (2/3) es mayor que el de la sólida (2/5) aunque ambas compartan la misma m y r.

¿Qué unidades espera la calculadora?+

Masa en kilogramos (kg) y radio o longitud en metros (m). El resultado, I, sale en kilogramos-metro-cuadrado (kg·m²), la unidad SI estándar para el momento de inercia. Si tus mediciones están en otras unidades, conviértelas a kg y m antes de ingresarlas.

¿Puedo compartir mis resultados?+

Sí — la calculadora codifica tu pestaña seleccionada, la forma, la masa, el radio/longitud y (en la pestaña Eje Paralelo) el desplazamiento del eje en la URL de la página. Copiar la URL, o hacer clic en el botón Compartir, es suficiente para entregarle un escenario específico a alguien más.

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Calculadora de Momento de Inercia

Inputs

Moment of Inertia

Inputs

Moment of Inertia (offset axis)

Inputs

How Shape Changes I

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Términos clave explicados

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Aficionado a la astronomía

Ingeniero mecánico

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Límites y casos extremos

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