Calcule la tensiones principales, tensión cortante máxima, and ángulo principal desde un estado de tensión plano 2D (γx, σy, τxy) — la misma transformación que visualiza gráficamente el círculo de Mohr.
Estado de estrés 2D
Ingrese las tensiones normales γx y γy y la tensión cortante θxy para el elemento de tensión. Los tres valores pueden ser positivos (tensión) o negativos (compresión/corte invertido).
El normal estrés acting en el x-face de el estrés element, en megapascals.
El normal estrés acting en el y-face de el estrés element, en megapascals.
El shear estrés acting en el x-face en el y-dirección, en megapascals.
Default example: σx = 100 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 30 MPa — giving principal stresses of about 110 MPa and 10 MPa.
Resultado
—
Ingrese γx, γy y θxy para calcular el círculo de Mohr.
σ1 (máximo)—
σ2 (mín.)—
τmáximo—
θp—
Tensión en cualquier plano
Utilice el control deslizante para inspeccionar la tensión normal y cortante en un plano girado en sentido antihorario desde el eje +x.
UN θp, shear estrés es zero y normal estrés es σ1.
Normal estrés σn—
Shear estrés τn—
5 min de lectura4 pasos7 términos3 ejemplos6 preguntas frecuentescentro = (σx + σy) / 2 radio = √(((σx − σy) / 2)² + τxy²)
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Paso a paso
Cómo usar esta calculadora
4 pasos▸
1
Ingresa el estado de esfuerzo 2D
Escribe los esfuerzos normales σx y σy y el esfuerzo cortante τxy de tu elemento de esfuerzo, en megapascales. Los tres pueden ser positivos o negativos — la calculadora se actualiza al instante conforme escribes.
2
Lee los esfuerzos principales
La pestaña Esfuerzos Principales encabeza con σ1 (el esfuerzo principal mayor) y σ2 (el menor). La cuadrícula de estadísticas debajo siempre muestra los cuatro valores derivados juntos: σ1, σ2, τmax y θp.
3
Verifica el esfuerzo cortante máximo
Cambia a la pestaña Cortante Máximo para encabezar con τmax, el esfuerzo cortante más grande que experimenta el elemento en cualquier plano — igual al radio del círculo de Mohr.
4
Halla el ángulo principal
Cambia a la pestaña Ángulo Principal para encabezar con θp, la rotación (en grados, desde el eje x) en la que el elemento ve solo esfuerzo normal y cortante cero.
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Referencia
Fórmula y metodología
2 fórmulas▸
Círculo de Mohr — centro y radio
centro = (σx + σy) / 2 radio = √(((σx − σy) / 2)² + τxy²)
El círculo de Mohr grafica cada par posible de esfuerzo normal/cortante (σ, τ) que un elemento de esfuerzo puede ver al rotarlo 360°, como un círculo en el espacio σ-τ. El centro del círculo se ubica en el eje σ en el promedio de los dos esfuerzos normales; su radio es la distancia desde ese centro hasta el punto (σx, τxy), calculada con la fórmula tipo Pitágoras anterior.
Esfuerzos principales, cortante máximo y ángulo principal
σ1,2 = centro ± radio τmax = radio θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy)
Los esfuerzos principales σ1 (máximo) y σ2 (mínimo) son donde el círculo cruza el eje σ — el centro más o menos el radio — y representan la orientación con cortante cero. El radio en sí es el cortante máximo en el plano, τmax. El ángulo principal θp es la mitad del ángulo (medido en el círculo) desde el punto σx hasta el punto de esfuerzo principal más cercano, dando la rotación física necesaria para alinear el elemento con sus ejes principales.
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Glosario
Términos clave explicados
7 términos▸
Círculo de MohrUn método gráfico para visualizar cómo cambian el esfuerzo normal y el cortante en un punto al rotar el elemento de esfuerzo — cada par posible (σ, τ) traza un círculo en el espacio de esfuerzos, centrado en el eje σ.
Esfuerzo principalEl esfuerzo normal (σ1 máximo, σ2 mínimo) que actúa sobre un plano donde el esfuerzo cortante es exactamente cero. Todo estado de esfuerzo 2D tiene exactamente dos esfuerzos principales, separados 90°.
Esfuerzo cortante máximo (τmax)El esfuerzo cortante más grande que experimenta el elemento en cualquier ángulo de rotación, igual al radio del círculo de Mohr y que ocurre 45° respecto a los planos principales.
Ángulo principal (θp)El ángulo de rotación, medido desde el eje x, en el cual el elemento de esfuerzo se alinea con sus planos principales — la orientación donde el esfuerzo normal se maximiza/minimiza y el esfuerzo cortante es cero.
Transformación de esfuerzoEl proceso de calcular el esfuerzo normal y cortante en un plano en un ángulo arbitrario a partir de un estado de esfuerzo conocido (σx, σy, τxy) — el círculo de Mohr es un atajo gráfico para esta transformación.
Esfuerzo normal (σ)Esfuerzo que actúa perpendicular a una superficie, ya sea separándola (tensión, positivo) o comprimiéndola (compresión, negativo). σx y σy son los esfuerzos normales sobre las caras x e y del elemento de esfuerzo.
Esfuerzo cortante (τ)Esfuerzo que actúa paralelo a una superficie, deslizando una capa de material sobre otra. τxy es el esfuerzo cortante en la cara x actuando en la dirección y, igual por simetría al esfuerzo cortante en la cara y actuando en la dirección x.
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Escenarios
Ejemplos del mundo real
3 ejemplos▸
🔩
Ingeniero de diseño mecánico
Verificando esfuerzos principales en un soporte cargado
Centro = (100+20)/2 = 60 MPa, radio = √(40² + 30²) = 50 MPa. Entonces σ1 = 60+50 = 110 MPa, σ2 = 60−50 = 10 MPa, τmax = 50 MPa, y θp ≈ 18.43°. El esfuerzo normal en el peor caso del soporte es 110 MPa — ese es el número a comparar contra la resistencia de fluencia del material.
🏗️
Ingeniero estructural
Dimensionando una soldadura para el cortante máximo en lugar del esfuerzo normal
Con σy negativo (compresión), el centro = 30 MPa y el radio = √(50² + 40²) ≈ 64.03 MPa, dando τmax ≈ 64.03 MPa en la pestaña Cortante Máximo. Como las soldaduras a menudo fallan primero por cortante, este valor — no σ1 — es la verificación de diseño determinante aquí.
🧪
Investigador de materiales orientando un extensómetro
Hallando el ángulo de rotación para una lectura de esfuerzo principal
Como σx = σy y τxy = 0, el elemento ya está en un estado principal (radio = 0) — σ1 = σ2 = 50 MPa y θp da 0°, lo que significa que no se necesita rotación para hallar una orientación sin cortante. Este es el caso degenerado donde el círculo de Mohr colapsa a un solo punto.
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Referencia
Citar esta calculadora
APA y MLA▸
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El círculo de Mohr es la herramienta gráfica clásica para la transformación de esfuerzos: en lugar de rederivar las ecuaciones de transformación de esfuerzo cada vez que necesitas el esfuerzo normal y cortante en un plano rotado, graficas un círculo y lees la respuesta en su geometría. Esta calculadora hace la misma matemática numéricamente, devolviendo los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo y el ángulo principal directamente a partir de tus entradas σx, σy y τxy.
Cómo el círculo codifica cada orientación posible
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Cualquier estado de esfuerzo 2D puede describirse con tres números: los esfuerzos normales en dos caras perpendiculares (σx, σy) y el esfuerzo cortante entre ellas (τxy). Al imaginar que se rota el elemento de esfuerzo, el esfuerzo normal y cortante en sus caras trazan un círculo en el espacio σ-τ — el círculo de Mohr. El círculo está centrado en (σx + σy)/2 sobre el eje σ, con un radio de √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Cada punto del círculo es un par (σ, τ) válido para algún ángulo de rotación, razón por la cual el círculo contiene toda la información necesaria para la transformación de esfuerzos sin repetir la trigonometría a mano.
Por qué importan los esfuerzos principales
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Los dos puntos donde el círculo cruza el eje σ — σ1 (máximo) y σ2 (mínimo) — son los esfuerzos principales: los esfuerzos normales en la orientación donde el esfuerzo cortante cae a cero. Estos suelen ser los números comparados contra la resistencia de fluencia o última de un material en una verificación de falla, ya que un material típicamente falla bajo el esfuerzo normal más grande que experimenta, sin importar en qué dirección apunte ese esfuerzo en el sistema de coordenadas x-y original. Consulta la Calculadora de Esfuerzo de Von Mises complementaria para combinar los esfuerzos principales en un solo criterio de falla de esfuerzo equivalente.
Esfuerzo cortante máximo y el ángulo principal
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El radio del círculo es también el esfuerzo cortante máximo en el plano, τmax — ocurre 45° respecto a los planos principales, en la parte superior e inferior del círculo. El ángulo principal, θp, es la rotación física (medida desde el eje x) que alinea el elemento de esfuerzo con sus planos principales. Muchos modos de falla — soldaduras, uniones adhesivas, fluencia de materiales dúctiles — están gobernados por el cortante en lugar del esfuerzo normal, así que τmax puede ser el número más importante dependiendo del material y el modo de falla que estés verificando. Compara con la Calculadora de Esfuerzo Cortante independiente para el caso más simple de fuerza única.
Límites de este modelo 2D
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Esta calculadora maneja el esfuerzo plano (2D) — el caso común para placas delgadas, cascarones y análisis de esfuerzo superficial donde el esfuerzo fuera del plano es cero o despreciable. Un estado de esfuerzo 3D completamente general tiene tres esfuerzos principales y necesita tres círculos de Mohr (o un análisis de valores propios completo) para caracterizarlo por completo. Para una verificación puramente uniaxial o biaxial sin cortante, consulta la Calculadora de Esfuerzo; para el criterio de falla 3D completo, usa el modo de esfuerzo por componentes de la Calculadora de Esfuerzo de Von Mises.
❓
Preguntas
Preguntas frecuentes
6 preguntas▸
¿Cuál es la fórmula detrás del círculo de Mohr?+
El círculo está centrado en (σx + σy)/2 con radio √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Los esfuerzos principales son el centro más o menos el radio (σ1,2 = centro ± radio), el esfuerzo cortante máximo equivale al radio, y el ángulo principal es θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy).
¿Cómo hallo el esfuerzo cortante máximo?+
El esfuerzo cortante máximo equivale al radio del círculo de Mohr: τmax = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Se encabeza en la pestaña Cortante Máximo, junto con los esfuerzos principales y el ángulo en la cuadrícula de estadísticas como referencia.
¿Qué significa realmente el ángulo principal?+
El ángulo principal θp es la rotación, en grados desde el eje x, en la que el elemento de esfuerzo está orientado de modo que el esfuerzo cortante es cero y el esfuerzo normal está en su valor máximo o mínimo (principal). Se calcula como la mitad del ángulo hasta el punto τxy en el círculo: θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy).
¿Maneja esta calculadora estados de esfuerzo 3D?+
No — este es un círculo de Mohr 2D (esfuerzo plano), apropiado para placas delgadas, cascarones y análisis de esfuerzo superficial donde el esfuerzo fuera del plano es despreciable. Un estado de esfuerzo 3D completo necesita tres esfuerzos principales y un análisis de valores propios más general.
¿Qué unidades usa la calculadora?+
Las tres entradas (σx, σy, τxy) y las cuatro salidas (σ1, σ2, τmax, θp) se tratan en megapascales (MPa) para los esfuerzos, con el ángulo principal en grados. Ingresa valores en cualquier unidad de esfuerzo consistente y las salidas estarán en esa misma unidad.
¿Qué convención de signos usa esta calculadora?+
El esfuerzo normal positivo (σx, σy) significa tensión; negativo significa compresión. El esfuerzo cortante τxy sigue la convención estándar de ingeniería donde un valor positivo tiende a rotar el elemento en sentido antihorario. El ángulo principal θp se mide en sentido antihorario desde el eje x positivo.
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