Find the (cos θ, sin θ) coordinates for any angle on the unit circle, plus its reference angle, quadrant, and exact symbolic form — in degrees or radians.
Angle
Any real number works — negative angles and angles over 360° (or 2π) wrap around the circle automatically.
Try:
(cos θ, sin θ)
—
Enter an angle above to compute.
x = cos θ—
y = sin θ—
tan θ—
Enter an angle to see its coordinates on the unit circle.
Unit circle diagram
Reference angle
—
Enter an angle above to compute.
Quadrant—
Angle (normalized, °)—
Angle (normalized, rad)—
Enter an angle to find its reference angle and quadrant.
Your angle vs. its reference angle
Your angle——
Reference angle (always Quadrant I)——
The reference angle always gives the same coordinate magnitudes — only the signs change by quadrant.
Exact form
—
Enter an angle above to compute.
Exact cos θ—
Exact sin θ—
Radians (π form)—
Enter an angle to see its exact symbolic coordinates, if it is a standard angle.
Standard angles reference
Degrees
Radians
cos θ
sin θ
5 min de lectura4 steps7 terms3 examples6 FAQs(x, y) = (cos θ, sin θ)
El círculo unitario es la única herramienta que une cada idea basada en ángulos en trigonometría: valores de seno y coseno, ángulos de referencia, signos por cuadrante y medida en radianes.
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Paso a paso
Cómo usar esta calculadora
4 pasos▸
1
Ingresa tu ángulo
Escribe cualquier ángulo en el campo de entrada — positivo o negativo, y de cualquier tamaño. Elige si estás ingresando grados o radianes con el selector de unidad junto a él. El resultado se actualiza al instante mientras escribes.
2
Lee las coordenadas
La pestaña Coordenadas muestra el punto (cos θ, sen θ) donde el lado terminal de tu ángulo cruza el círculo unitario, junto con tan θ y un pequeño diagrama del círculo con tu ángulo trazado.
3
Revisa el ángulo de referencia y el cuadrante
Cambia a la pestaña Ángulo de Referencia para ver el ángulo agudo que tu lado terminal forma con el eje x, en qué cuadrante estás, y una comparación lado a lado con el ángulo equivalente del Cuadrante I.
4
Consulta la forma exacta
Si tu ángulo es un múltiplo de 30° o 45° (los 16 ángulos "agradables"), la pestaña Valores Exactos muestra la respuesta simbólica — como √3/2 en lugar de 0.8660 — más la tabla completa de referencia de ángulos estándar.
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Referencia
Fórmula y metodología
3 fórmulas▸
Coordenadas en el círculo unitario
(x, y) = (cos θ, sin θ)
Para cualquier ángulo θ medido en sentido antihorario desde el eje x positivo, el lado terminal cruza el círculo unitario (radio 1, centrado en el origen) en el punto (cos θ, sen θ). Esta es la definición de seno y coseno usada en toda la trigonometría, el cálculo y la física — extiende las definiciones de triángulo rectángulo a cualquier ángulo, incluyendo ángulos mayores a 90° y ángulos negativos.
Ángulo de referencia
ref(θ) = min(θ mod 180°, 180° − (θ mod 180°))
El ángulo de referencia es el ángulo agudo (0°–90°) entre el lado terminal y el eje x. Es igual a θ mismo en el Cuadrante I, 180° − θ en el Cuadrante II, θ − 180° en el Cuadrante III, y 360° − θ en el Cuadrante IV. El coseno y el seno de cualquier ángulo son iguales a ±cos/±sen de su ángulo de referencia — solo cambia el signo.
Tangente
tan θ = sin θ / cos θ
La tangente es indefinida donde cos θ = 0 — en 90° y 270° (y sus ángulos coterminales) — ya que requeriría dividir entre cero. En cualquier otro punto es la razón entre la coordenada y y la coordenada x en el círculo unitario.
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Glosario
Términos clave explicados
7 términos▸
Círculo unitarioUn círculo con radio 1 centrado en el origen (0, 0) del plano cartesiano. Todo ángulo trazado desde el eje x positivo tiene su lado terminal cruzando este círculo en exactamente un punto, (cos θ, sen θ).
Ángulo de referenciaEl ángulo agudo positivo (entre 0° y 90°) formado entre el lado terminal de un ángulo y el eje x. Se usa para hallar valores trigonométricos exactos de cualquier ángulo relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante.
CuadranteUna de las cuatro regiones en que los ejes x e y dividen el plano, numeradas de I a IV en sentido antihorario comenzando desde la parte superior derecha. El Cuadrante I tiene ambas coordenadas positivas; el II tiene x negativo, y positivo; el III tiene ambas negativas; el IV tiene x positivo, y negativo (la regla ASTC: Todas, Seno, Tangente, Coseno son positivas en Q1–Q4 respectivamente).
Lado terminalEl rayo hacia el que un ángulo barre cuando se mide en sentido antihorario desde el eje x positivo (el "lado inicial"). Donde el lado terminal cruza el círculo unitario da las coordenadas (cos, sen) del ángulo.
Ángulos coterminalesÁngulos que comparten el mismo lado terminal porque difieren por una vuelta completa — 30° y 390° (30° + 360°) son coterminales, al igual que 30° y -330°. Los ángulos coterminales siempre tienen valores idénticos de cos, sen y tan.
RadiánUna medida de ángulo donde una vuelta completa equivale a 2π radianes (≈6.2832), en lugar de 360°. Los radianes son la unidad natural para el cálculo y la física porque relacionan la longitud del arco directamente con el radio (longitud del arco = radio × ángulo en radianes).
Valor exactoUn valor trigonométrico expresado como una fracción simbólica o radical precisa (como √2/2 o 1/2) en lugar de un decimal redondeado (0.7071). Existen valores exactos para ángulos que son múltiplos de 30° o 45°, derivados de las razones de los triángulos 30-60-90 y 45-45-90.
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Escenarios
Ejemplos del mundo real
3 ejemplos▸
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Estudiante de trigonometría
Consultar un ángulo estándar
Ángulo 30Unidad Grados
30° es un ángulo estándar en el Cuadrante I, así que su ángulo de referencia es él mismo (30°). Las coordenadas exactas son (√3/2, 1/2) ≈ (0.8660, 0.5000) — la misma razón del triángulo 30-60-90 que memorizan los estudiantes, solo que ubicada en el círculo unitario en lugar de un triángulo rectángulo.
🧭
Verificación de tarea
Un ángulo mayor a 180°
Ángulo 210Unidad Grados
210° cae en el Cuadrante III, 30° más allá del eje x negativo. Su ángulo de referencia es 30° (210° − 180°), así que comparte las mismas magnitudes de coordenadas que 30° pero con ambos signos invertidos: (-√3/2, -1/2) ≈ (-0.8660, -0.5000), ya que tanto el coseno como el seno son negativos en el Cuadrante III.
∫
Preparación para cálculo
Trabajando en radianes
Ángulo π/4 (0.7854)Unidad Radianes
π/4 radianes equivale a 45°, justo en la diagonal entre los ejes en el Cuadrante I. Como 45° es un ángulo especial 45-45-90, el coseno y el seno son iguales: (√2/2, √2/2) ≈ (0.7071, 0.7071). tan θ = 1 aquí, ya que sen y cos coinciden.
El círculo unitario es la única herramienta que une cada idea basada en ángulos en trigonometría: valores de seno y coseno, ángulos de referencia, signos por cuadrante y medida en radianes. En lugar de memorizar decenas de razones de triángulos, el círculo unitario te permite leer las coordenadas (cos θ, sen θ) de cualquier ángulo directamente de un círculo de radio 1.
Cómo funciona el círculo unitario
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Traza un círculo de radio 1 centrado en el origen del plano cartesiano. Comenzando desde el eje x positivo, barre en sentido antihorario un ángulo θ. Donde ese barrido — el lado terminal del ángulo — cruza el círculo es el punto (cos θ, sen θ). Como el círculo tiene radio 1, la coordenada x de ese punto se define como cos θ y la coordenada y como sen θ. Esta es una extensión directa de las definiciones de triángulo rectángulo del seno y el coseno (opuesto/hipotenusa, adyacente/hipotenusa) a ángulos de cualquier tamaño, incluyendo ángulos mayores a 90° y ángulos negativos, donde un triángulo rectángulo ya no tiene sentido por sí solo.
La tangente se deriva directamente como sen θ / cos θ, la pendiente del rayo del lado terminal. Como el círculo unitario tiene radio 1, no se necesita ninguna división por la hipotenusa — las coordenadas son los valores trigonométricos.
Ángulos de referencia y la regla ASTC
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En lugar de memorizar valores exactos separados para cada ángulo alrededor del círculo completo, la trigonometría usa ángulos de referencia: todo ángulo se relaciona con un ángulo agudo (0°–90°) en el Cuadrante I, y el signo se determina según en qué cuadrante cae el ángulo original. El mnemotécnico clásico es Todos-Seno-Tangente-Coseno (ASTC): en el Cuadrante I, las tres funciones son positivas; en el Cuadrante II, solo el seno es positivo; en el Cuadrante III, solo la tangente es positiva; en el Cuadrante IV, solo el coseno es positivo.
Así, 210° (Cuadrante III) tiene el mismo ángulo de referencia que 30°, y su coseno y seno son ambos negativos porque solo la tangente es positiva en el Cuadrante III — cos(210°) = -cos(30°) y sen(210°) = -sen(30°).
Los 16 ángulos estándar y sus valores exactos
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Todo múltiplo de 30° y 45° alrededor del círculo — 16 ángulos en total, incluyendo los cuatro ángulos de eje 0°/90°/180°/270° — tiene un valor simbólico exacto (cos, sen) derivado de dos triángulos rectángulos especiales: el triángulo 30-60-90 (que da 1/2 y √3/2) y el triángulo 45-45-90 (que da √2/2 para ambos). Cualquier ángulo fuera de este conjunto de 16 no tiene una forma simbólica limpia y se deja como una aproximación decimal — la pestaña Valores Exactos de esta calculadora hace esa distinción explícita en lugar de mostrar una fracción redondeada engañosa.
Límites y aspectos a tener en cuenta
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La tangente es indefinida en 90° y 270° (y cualquier ángulo coterminal con ellos) porque el coseno es 0 ahí, lo que requeriría dividir entre cero — esta calculadora reporta "indefinido" en lugar de un error o un decimal infinito. El redondeo de punto flotante también significa que una entrada en radianes convertida de un valor exacto en grados (como π/2) puede calcular el coseno como un número extremadamente pequeño distinto de cero en lugar de un 0 matemáticamente perfecto; la consulta de valores exactos de la calculadora evita esto comparando contra los verdaderos valores simbólicos, no la salida cruda de punto flotante.
❓
Preguntas
Preguntas frecuentes
6 preguntas▸
¿Qué calcula exactamente la Calculadora del Círculo Unitario?+
Toma cualquier ángulo (en grados o radianes) y devuelve el punto (cos θ, sen θ) donde el lado terminal de ese ángulo cruza un círculo de radio 1 centrado en el origen, junto con tan θ, el ángulo de referencia, en qué cuadrante cae, y — para los 16 ángulos estándar que son múltiplos de 30° o 45° — las coordenadas simbólicas exactas en lugar de solo un decimal.
¿Qué es un ángulo de referencia, en términos sencillos?+
Es el ángulo agudo (siempre entre 0° y 90°) entre el lado terminal de tu ángulo y la parte más cercana del eje x. Todo ángulo alrededor del círculo completo se relaciona con un ángulo de referencia en el Cuadrante I, que es como puedes hallar valores trigonométricos exactos de cualquier ángulo usando solo el puñado de ángulos especiales del primer cuadrante.
¿Cómo funcionan los signos por cuadrante — qué funciones son positivas dónde?+
Cuadrante I: el coseno, el seno y la tangente son todos positivos. Cuadrante II: solo el seno es positivo. Cuadrante III: solo la tangente es positiva. Cuadrante IV: solo el coseno es positivo. Esta es la regla "Todos-Seno-Tangente-Coseno" (ASTC), y es por eso que el mismo ángulo de referencia puede producir cuatro combinaciones de signos diferentes según en qué cuadrante esté el ángulo original.
¿Qué ángulos tienen valores exactos, y por qué no todos?+
Los 16 ángulos que son múltiplos de 30° o 45° (0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus reflejos alrededor del círculo) tienen valores simbólicos exactos porque provienen de los triángulos rectángulos especiales 30-60-90 y 45-45-90. Los ángulos fuera de ese conjunto, como 37° o 100°, no se reducen a una fracción limpia de una raíz cuadrada, así que solo una aproximación decimal tiene sentido — la calculadora muestra "Sin forma exacta" para esos en lugar de una fracción redondeada engañosa.
¿Esta calculadora admite radianes además de grados?+
Sí — usa el selector de unidad junto al campo del ángulo para alternar entre Grados y Radianes. Internamente, todo ángulo se convierte y normaliza para que las entradas en grados y radianes del mismo ángulo subyacente (como 45° y π/4) siempre produzcan coordenadas, ángulos de referencia y formas exactas idénticas.
¿Por qué tan θ a veces es "indefinido"?+
La tangente es sen θ / cos θ, y el coseno es exactamente 0 en 90° y 270° (y cualquier ángulo coterminal con ellos, como 450° o -90°) — dividir entre cero no tiene un resultado definido. La calculadora reporta "indefinido" en esos ángulos exactos en lugar de un número enorme o de apariencia infinita.
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