Las seis funciones trigonométricas describen la relación entre un ángulo y los lados de un triángulo rectángulo — o, en general, entre un ángulo y un punto en el círculo unitario. Esta calculadora maneja ambas direcciones: convertir un ángulo en los seis valores de función, y convertir una razón conocida de vuelta en un ángulo con las funciones inversas.
De los triángulos rectángulos al círculo unitario
La trigonometría empieza con SOH-CAH-TOA: el seno es el cateto opuesto sobre la hipotenusa, el coseno es el cateto adyacente sobre la hipotenusa, la tangente es el cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Sin embargo, esa definición solo funciona para ángulos entre 0° y 90°, ya que un triángulo rectángulo no puede tener un ángulo de 180° o −45°. La definición del círculo unitario extiende las funciones a cualquier ángulo real: el seno es la coordenada y y el coseno es la coordenada x del punto donde el rayo del ángulo se encuentra con un círculo de radio 1, y la tangente es su razón. Por eso el seno y el coseno siempre están entre −1 y 1 (las coordenadas del círculo nunca superan ese rango), mientras que la tangente puede ser cualquier número real.
Por qué algunas funciones son indefinidas en ciertos ángulos
La tangente, la secante y la cotangente se definen todas como razones, y una razón es indefinida cuando su denominador es cero. La tangente (sen/cos) y la secante (1/cos) se rompen donde el coseno es igual a cero — en 90°, 270° y cada 180° a partir de ahí. La cotangente (cos/sen) y la cosecante (1/sen) se rompen donde el seno es igual a cero — en 0°, 180°, 360°, y así sucesivamente. Gráficamente, estas son las asíntotas verticales que se ven en una curva de tangente o secante: la función se dispara hacia el infinito positivo o negativo a medida que el ángulo se acerca al punto indefinido, pero nunca llega realmente a un valor ahí.
Por qué la trigonometría inversa tiene un dominio restringido
Como el seno y el coseno solo producen valores entre −1 y 1, sus funciones inversas (sen⁻¹ y cos⁻¹) solo pueden aceptar entradas en ese mismo rango — no existe ningún ángulo cuyo seno sea 2, así que sen⁻¹(2) simplemente no existe. La arcotangente no tiene esta restricción porque el rango de salida de la tangente es todos los números reales, así que tan⁻¹ acepta cualquier valor. Una sutileza adicional: el seno y el coseno son periódicos, así que infinitos ángulos comparten el mismo valor de seno (30°, 150°, 390°, …). Las funciones inversas devuelven exactamente uno de ellos — el "valor principal" — que para sen⁻¹ siempre está entre −90° y 90°, para cos⁻¹ entre 0° y 180°, y para tan⁻¹ entre −90° y 90°.
Grados vs. radianes
Los grados dividen un círculo en 360 partes iguales, una convención que se remonta a la astronomía babilónica antigua. Los radianes miden el ángulo por longitud de arco: un radián es el ángulo donde la longitud del arco es igual al radio, dando 2π radianes por círculo completo. Los radianes son la unidad natural en cálculo y física porque hacen que las fórmulas de derivadas y series para el seno y el coseno se simplifiquen limpiamente, mientras que los grados siguen siendo la unidad cotidiana para navegación, construcción y la mayoría de la geometría escolar. Esta calculadora acepta y muestra ambas, así que puedes trabajar en la unidad que use tu material de referencia.