Calculate the arc length and sector area of a circle from the radius and central angle, or solve for the radius or the angle instead.
Inputs
Choose what to solve for above — the input that becomes the unknown is hidden automatically.
Arc Length
—
Enter a radius and angle above to compute.
Arc length—
Sector area—
Full circumference (2πr)—
Arc − chord gap—
Arc X, sector area Y.
Sector diagram
Solved Values
—
Enter the values above to compute.
Radius—
Central angle—
Arc length—
Solve for radius or angle using the selector above.
Chord Length
—
Enter the values above to compute.
Chord length—
Radius used—
Angle used—
The straight-line distance between the arc's two endpoints.
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5 min de lectura3 steps6 terms3 examples6 FAQss = rθ
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Paso a paso
Cómo usar esta calculadora
3 pasos▸
1
Ingresa el radio y el ángulo central
Escribe el radio del círculo y el ángulo central que abarca el arco que estás midiendo. Elige Grados o Radianes en el selector de unidad junto al campo del ángulo — la calculadora convierte internamente para que nunca tengas que hacer esa operación a mano.
2
Lee la longitud del arco y el área del sector
La pestaña Arco y Sector se actualiza al instante: el número principal es la longitud del arco (s = rθ), y la línea de detalle muestra el área del sector (½r²θ) junto con la longitud de la cuerda. Cambia a la pestaña Cuerda para una lectura dedicada de la distancia en línea recta entre los dos extremos del arco.
3
O resuelve hacia atrás para el radio o el ángulo
Si ya conoces la longitud del arco y quieres el radio o el ángulo en su lugar, usa el menú desplegable "Resolver para" en la parte superior. Elegir "Radio" cambia el campo del radio por un campo de longitud de arco; elegir "Ángulo" hace lo mismo para el campo del ángulo. La pestaña Resolver entonces muestra el valor que estás buscando.
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Referencia
Fórmula y metodología
3 fórmulas▸
Longitud del arco
s = rθ
La longitud del arco s es igual al radio r multiplicado por el ángulo central θ, medido en radianes. Esta es la definición de un radián: un radián es el ángulo que abarca un arco exactamente tan largo como el radio, así que multiplicar por r simplemente escala esa relación. Si tu ángulo está en grados, conviértelo primero con θ(rad) = θ(grados) × π/180.
Área del sector
A = ½r²θ
Un sector circular es la región en forma de rebanada de pastel delimitada por los dos radios y el arco. Su área es la mitad del radio al cuadrado por el ángulo central en radianes — la misma forma ½r²θ que la fórmula del área del círculo completo πr² (que es solo el caso especial θ = 2π: ½r²(2π) = πr²).
Longitud de la cuerda
c = 2r·sin(θ/2)
La cuerda es la línea recta que conecta los dos extremos del arco, a diferencia del arco curvo en sí. Se obtiene dividiendo el triángulo isósceles formado por los dos radios y la cuerda en dos triángulos rectángulos: cada media cuerda es r·sen(θ/2), así que la cuerda completa es el doble de eso.
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Glosario
Términos clave explicados
6 términos▸
Longitud del arcoLa distancia a lo largo de la parte curva de un círculo entre dos puntos, a diferencia de la distancia en línea recta (cuerda) entre los mismos dos puntos. Se calcula como s = rθ con θ en radianes.
SectorLa región en forma de rebanada de pastel de un círculo delimitada por dos radios y el arco entre ellos. Su área es ½r²θ.
Ángulo centralEl ángulo formado en el centro del círculo por los dos radios que delimitan un sector o arco. Puede medirse en grados o radianes — esta calculadora acepta y convierte ambos.
RadiánLa unidad SI de ángulo, definida de manera que un ángulo de 1 radián abarca un arco de longitud igual al radio. Un círculo completo son 2π radianes (aproximadamente 6.283), que equivale a 360°, así que 1 radián ≈ 57.296°.
CuerdaUn segmento de línea recta que conecta dos puntos de un círculo. A diferencia del arco, que sigue la curva, la cuerda es el camino más corto (en línea recta) entre los dos puntos: c = 2r·sen(θ/2).
Sector circularOtro nombre para un sector — la región encerrada por un arco y los dos radios en sus extremos, comúnmente visualizada como una rebanada de pastel o pizza.
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Escenarios
Ejemplos del mundo real
3 ejemplos▸
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Cálculo directo
Radio 5, ángulo central 60°
Radio 5Ángulo central 60°
Convertir 60° a radianes da θ = 60 × π/180 ≈ 1.0472 rad. Longitud del arco = 5 × 1.0472 ≈ 5.236 unidades. Área del sector = ½ × 5² × 1.0472 ≈ 13.09 unidades cuadradas. Longitud de la cuerda = 2 × 5 × sen(30°) = 10 × 0.5 = 5 unidades — nota que la cuerda (5) es más corta que el arco (5.236), como siempre ocurre para cualquier ángulo menor a un círculo completo, ya que una línea recta es el camino más corto entre dos puntos.
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Resolviendo hacia atrás para el radio
Longitud del arco 5.236, ángulo central 60° → ¿radio?
Longitud del arco 5.236Ángulo central 60°
Reordenando s = rθ se obtiene r = s / θ. Con θ = 60° ≈ 1.0472 rad, radio = 5.236 / 1.0472 ≈ 5.000. Este es exactamente el inverso del primer ejemplo — útil cuando has medido la longitud de un arco en el campo (digamos, una sección curva de carretera o vía) y el ángulo que subtiende, pero necesitas hallar el radio de la curva en la que se encuentra.
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Cuerda a partir de un barrido más amplio
Radio 10, ángulo central 90°
Radio 10Ángulo central 90°
A 90° (un cuarto de círculo), θ = π/2 ≈ 1.5708 rad. Longitud del arco = 10 × 1.5708 ≈ 15.71 unidades. Longitud de la cuerda = 2 × 10 × sen(45°) ≈ 20 × 0.7071 ≈ 14.14 unidades. Aquí la brecha entre el arco y la cuerda es mucho más visible que en el ejemplo de 60° — cuanto más ancho el ángulo, más se aleja el arco curvo de la cuerda recta, hasta que en un barrido completo de 360° la cuerda se reduce a 0 mientras el arco es igual a toda la circunferencia.
Un arco es simplemente una porción de la circunferencia de un círculo, y una vez que conoces el radio y el ángulo central que lo define, tres medidas relacionadas se deducen de inmediato: qué tan largo es el arco en sí, cuánta área cubre el sector en forma de rebanada de pastel, y qué tan separados están los dos extremos del arco en línea recta (la cuerda). Esta calculadora computa las tres a partir del radio y el ángulo, y también puede trabajar hacia atrás para resolver el radio o el ángulo cuando ya conoces la longitud del arco.
Cómo funciona la Calculadora de Longitud de Arco
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La relación central es s = rθ, donde θ debe estar en radianes — esto es literalmente la definición de un radián, ya que un radián es el ángulo que traza un arco exactamente tan largo como el radio. Si ingresas tu ángulo en grados, la calculadora lo convierte a radianes (θ_rad = θ_grados × π/180) antes de ejecutar cualquier fórmula, y luego lo convierte de vuelta para mostrarlo, así que nunca ves una unidad desconocida a menos que la pidas.
El área del sector (½r²θ) y la longitud de la cuerda (2r·sen(θ/2)) se derivan ambas del mismo radio y ángulo conocidos, así que los tres resultados se actualizan juntos en el momento en que cambias una entrada. Resolver hacia atrás para el radio (r = s/θ) o el ángulo (θ = s/r) simplemente reordena la misma fórmula s = rθ.
Entradas y qué significan
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El radio es la distancia desde el centro del círculo hasta su borde — cualquier unidad consistente funciona (pulgadas, metros, millas) siempre que seas consistente. El ángulo central es qué tan ancha es la rebanada de pastel, ya sea en grados (la unidad cotidiana, donde un círculo completo es 360°) o radianes (la unidad matemática, donde un círculo completo es 2π ≈ 6.283). La longitud del arco es la distancia curva a lo largo del borde del círculo que abarca el ángulo.
El selector "Resolver para" controla cuál de estos tres es la incógnita: déjalo en "Arco y sector" para calcular hacia adelante a partir del radio y el ángulo, o cámbialo a "Radio" o "Ángulo" para trabajar hacia atrás a partir de una longitud de arco conocida.
Límites y casos especiales
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El radio y el ángulo deben ser ambos números positivos — un radio o ángulo cero o negativo no describe un arco real. Al resolver para el ángulo a partir de una longitud de arco y un radio conocidos, la longitud del arco no puede exceder la circunferencia del propio círculo (2πr), ya que un solo arco no puede ser más largo que todo el círculo al que pertenece; la calculadora señala esto en lugar de devolver un ángulo mayor a 360°.
En exactamente un círculo completo (θ = 2π radianes = 360°), la fórmula de la cuerda sigue funcionando pero se vuelve trivial — los dos "extremos" de un círculo completo son el mismo punto, así que la longitud de la cuerda es 0, mientras que la longitud del arco es igual a toda la circunferencia 2πr. Esta calculadora maneja únicamente círculos planos (2D, euclidianos); no está pensada para arcos en una esfera u otra superficie curva.
❓
Preguntas
Preguntas frecuentes
6 preguntas▸
¿Qué fórmula usa esta calculadora para la longitud del arco?+
Longitud del arco s = rθ, donde r es el radio y θ es el ángulo central en radianes. Si ingresas grados, la calculadora convierte a radianes primero (θ_rad = θ_grados × π/180) ya que la fórmula solo funciona en radianes.
¿Cuál es la fórmula del área del sector?+
Área del sector = ½r²θ, con θ nuevamente en radianes. Esta es la misma forma que la fórmula del área del círculo completo πr² — sustituyendo θ = 2π (un círculo completo) se obtiene ½r²(2π) = πr², confirmando que la fórmula es consistente en el límite.
¿Cómo convierto grados a radianes?+
Multiplica el valor en grados por π/180 (aproximadamente 0.017453). Por ejemplo, 60° × π/180 ≈ 1.0472 radianes. Esta calculadora hace la conversión automáticamente — solo elige Grados o Radianes en el selector de unidad junto al campo del ángulo.
¿Cuál es la fórmula de la longitud de la cuerda, y en qué se diferencia de la longitud del arco?+
Longitud de la cuerda = 2r·sen(θ/2). La cuerda es la distancia en línea recta entre los dos extremos del arco, mientras que la longitud del arco es la distancia a lo largo de la curva. La cuerda siempre es más corta que (o, en θ = 0, igual a) el arco, ya que una línea recta es el camino más corto entre dos puntos.
¿Esta calculadora puede resolver para el radio o el ángulo en lugar del arco?+
Sí. Usa el menú desplegable "Resolver para" para cambiar la calculadora al modo inverso: elige "Radio" para resolver r = s/θ a partir de una longitud de arco y ángulo conocidos, o elige "Ángulo" para resolver θ = s/r a partir de una longitud de arco y radio conocidos.
¿Qué sucede en un círculo completo de 360°?+
En θ = 2π radianes (360°), la fórmula de la longitud del arco da s = 2πr — la conocida fórmula de la circunferencia — y el área del sector da A = πr², la conocida fórmula del área del círculo. La longitud de la cuerda cae a 0, ya que los "dos extremos" del arco son en realidad el mismo punto en un círculo completo.
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