La probabilidad cuantifica qué tan probable es que ocurra un evento, expresada como un número de 0 (imposible) a 1 (seguro). Ya sea que estés lanzando monedas, inspeccionando la producción de una fábrica o planeando un juego de cartas, la probabilidad te da un marco riguroso para razonar bajo incertidumbre. Esta guía cubre las fórmulas clave, cuándo usar cada modo y cómo interpretar los resultados.
Probabilidad Básica y la Regla del Complemento
La forma más simple de probabilidad es la razón entre resultados favorables y resultados totales igualmente probables: P(A) = favorable / total. Esto aplica cuando cada resultado es igualmente probable — sacar un número específico en un dado justo, extraer una carta específica de un mazo barajado o seleccionar una bola específica de una bolsa.
La regla del complemento establece que P(A') = 1 − P(A). Si hay un 30% de probabilidad de lluvia, hay un 70% de probabilidad de que no llueva. Las probabilidades (odds) convierten la probabilidad en una razón: odds a favor de un evento = favorable : (total − favorable). Una probabilidad de 1/6 corresponde a odds de 1:5.
Distribución Binomial: Ensayos Independientes Repetidos
La distribución binomial modela experimentos con n ensayos independientes, cada uno resultando en éxito (probabilidad p) o fracaso (probabilidad 1−p). La probabilidad de exactamente k éxitos es P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k). Esta fórmula tiene tres componentes: C(n,k) cuenta el número de formas en que pueden ocurrir k éxitos, p^k es la probabilidad de k éxitos y (1−p)^(n−k) es la probabilidad de los fracasos restantes.
La probabilidad acumulada P(X≤k) suma todas las probabilidades de 0 a k y es especialmente útil para el control de calidad (rechazar si hay más de k defectos) y las pruebas de hipótesis (cálculo de valor p). El valor esperado E(X) = n×p es el número promedio de éxitos que observarías a lo largo de muchas repeticiones del experimento.
Combinaciones y Permutaciones: Contar Sin Calcular Cada Caso
Las combinaciones (nCr) cuentan el número de formas de seleccionar k elementos de n elementos cuando el orden no importa. Las permutaciones (nPr) cuentan arreglos ordenados. La distinción clave: elegir un comité de 3 entre 10 personas es una combinación (C(10,3) = 120), pero otorgar el primer, segundo y tercer lugar entre 10 finalistas es una permutación (P(10,3) = 720). Las permutaciones siempre son ≥ que las combinaciones para el mismo n y k, porque cada combinación puede ordenarse de k! formas.
Ambas fórmulas usan factoriales y están limitadas por la precisión de punto flotante para n > 170 (donde n! excede el rango numérico de JavaScript). Para valores más grandes, usa logaritmos de factoriales o bibliotecas especializadas de números grandes.