La distribución hipergeométrica responde una pregunta que la distribución binomial no puede: ¿cuál es la probabilidad de un número dado de éxitos al extraer una muestra de una población finita sin devolver nada? Las manos de cartas, los sorteos de lotería y el muestreo de control de calidad de un lote terminado encajan en este patrón. Esta calculadora computa probabilidades exactas, a-lo-sumo y al-menos junto con la media y la desviación estándar de la distribución, para que puedas ir de población, éxitos y tamaño de muestra directamente a una probabilidad utilizable.
Cómo funciona la fórmula hipergeométrica
La FMP hipergeométrica, P(X = k) = C(K,k)·C(N−K, n−k) / C(N,n), es una razón de conteos de combinaciones en lugar de un producto de probabilidades. El numerador cuenta cada forma de construir una muestra con exactamente k éxitos: C(K,k) formas de elegir cuáles éxitos se incluyen, multiplicado por C(N−K, n−k) formas de llenar el resto de la muestra con no éxitos. El denominador, C(N,n), es el número total de muestras igualmente probables de tamaño n que podrías extraer de toda la población, sin importar cuántos éxitos contengan. Dividir el conteo favorable entre el conteo total da la probabilidad exacta — la misma lógica combinatoria detrás de las probabilidades de manos de cartas en el póker y el bridge.
Entradas y su significado
El tamaño de la población (N) es el número total de elementos disponibles y debe ser un número entero. Esta calculadora admite hasta 1000 para lograr estabilidad numérica. Los éxitos en la población (K) son cuántos de esos N elementos cuentan como un "éxito"; debe estar entre 0 y N. El tamaño de la muestra (n) es la cantidad de elementos que extrae a la vez sin reemplazo, también entre 0 y N. Los éxitos observados (k) es el recuento sobre el que está preguntando, y su rango válido es más estrecho que 0 a n: k no puede exceder K (no hay más éxitos para extraer de los que existen) y no puede ser tan bajo como para requerir más fallas que realmente existen en la población. El tipo de comparación funciona exactamente igual que la calculadora binomial: exactamente, como máximo o al menos, pero siempre operando sobre este rango restringido de población.
Hipergeométrica vs. binomial: cuándo aplica cada una
Ambas distribuciones cuentan éxitos a través de extracciones repetidas, pero responden configuraciones de muestreo diferentes. La distribución binomial asume que muestreas con reemplazo (o de una población efectivamente infinita), por lo que cada extracción es independiente y la probabilidad de éxito p nunca cambia. La distribución hipergeométrica asume que muestreas pecado reemplazo de una población conocida y finita, por lo que cada extracción cambia las probabilidades para la siguiente — extraer un corazón de una baraja hace que el siguiente corazón sea ligeramente menos probable. Como regla práctica, cuando el tamaño de muestra n es pequeño en relación con el tamaño de la población N (aproximadamente n/N por debajo del 5%), las dos distribuciones dan respuestas muy similares y la fórmula binomial más simple a menudo se usa como aproximación. Cuando N es pequeño o n es una fracción grande de N — una mano de póker de 5 cartas de una baraja de 52, por ejemplo — la diferencia importa y la fórmula hipergeométrica es la correcta.
Comparación sin reemplazo y con extracciones independientes
Compara el mismo evento de número de éxitos con muestreo sin reemplazo y extracciones independientes con probabilidad K/N. Fuera del soporte sin reemplazo, la masa consultada es explícitamente cero. El planificador verifica su mínimo entero con probabilidades exactas.
La población contiene hasta 1.000 elementos. Las fracciones exactas conservan las probabilidades acotadas sin reemplazo. El modelo independiente supone reemplazo y probabilidad de éxito constante; es otro modelo, no una corrección del original. Las probabilidades no nulas por debajo del rango numérico no están disponibles.