El teorema del límite central (TLC) es uno de los resultados más útiles de la estadística: sin importar cómo se distribuyan los valores de una población, las medias de muestras aleatorias repetidas de ella se asientan en un patrón predecible, aproximadamente normal. Esta calculadora convierte ese teorema en tres números prácticos — la media y la dispersión de la distribución muestral, y la probabilidad de que una media muestral caiga en un rango que te importe.

Cómo funciona la calculadora del teorema del límite central

Dada una media poblacional (μ), una desviación estándar poblacional (σ) y un tamaño de muestra (n), la calculadora computa el error estándar de la media, SE = σ/√n — la desviación estándar de la distribución muestral de x̄. Por el TLC, esa distribución muestral está centrada en μ y se vuelve aproximadamente normal a medida que n crece, lo que es lo que permite que la calculadora use la distribución normal estándar para responder preguntas de probabilidad sobre x̄.

Para las vistas de probabilidad, un umbral de la media muestral (o un par de límites inferior/superior) se convierte en una puntuación z usando z = (x̄ − μ)/SE, y el área correspondiente bajo la curva normal estándar da la probabilidad.

Entradas y su significado

La media poblacional (μ) es el promedio verdadero de toda la población — a menudo desconocido en la práctica, pero aquí se asume conocido para que el comportamiento del teorema sea claro. La desviación estándar poblacional (σ) mide cuán dispersos están los valores individuales en la población; una σ mayor significa que las mediciones individuales varían más, lo que también amplía la distribución muestral. El tamaño de muestra (n) es cuántas observaciones entran en cada media muestral — tiene un efecto desproporcionado en la precisión porque el SE se reduce con la raíz cuadrada de n, por lo que cuadruplicar el tamaño de muestra solo reduce el error estándar a la mitad.

Límites y casos extremos

La aproximación normal detrás de esta calculadora es más confiable cuando n es de al menos unos 30, o cuando la población misma ya es aproximadamente normal (en cuyo caso incluso muestras pequeñas funcionan bien). Para poblaciones fuertemente sesgadas con n pequeño, la distribución muestral aún puede apartarse notablemente de lo normal, y las estimaciones de probabilidad aquí deben tratarse como aproximadas. La calculadora también asume que se conoce la desviación estándar poblacional σ; cuando σ debe estimarse a partir de una muestra, un método basado en la distribución t es más apropiado para muestras más pequeñas.