La distribución binomial responde una pregunta específica pero extremadamente común: si repites un experimento independiente de sí/no un número fijo de veces, ¿qué tan probable es un número dado de éxitos? Esta calculadora computa probabilidades exactas, como máximo y al menos, junto con la media y la desviación estándar de la distribución, para que puedas pasar de «cuántos ensayos y con qué probabilidades» directamente a una probabilidad utilizable.
Cómo funciona la fórmula binomial
La PMF binomial, P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), se descompone en tres partes. C(n,k) — «n sobre k» — cuenta cuántos ordenamientos diferentes de k éxitos entre n ensayos son posibles; sin ello solo capturarías la probabilidad de un ordenamiento específico, no todas las formas igualmente probables de obtener k éxitos. p^k es la probabilidad de que un conjunto particular de k ensayos tenga todos éxito, y (1−p)^(n−k) es la probabilidad de que los ensayos restantes fallen todos. Multiplicar los tres términos entre sí y, para preguntas acumuladas, sumar sobre cada k relevante, da el panorama completo de probabilidad.
Entradas y qué significan
Ensayos (n) es el número fijo de repeticiones independientes — debe ser un número entero, y esta calculadora admite hasta 1,000 por estabilidad numérica. Probabilidad de éxito (p) se ingresa como decimal entre 0 y 1 (50% es 0.5, no 50) y representa la misma probabilidad fija aplicada a cada ensayo. Éxitos (k) es el conteo que estás preguntando, siempre entre 0 y n. El tipo de comparación — exactamente, como máximo o al menos — determina si obtienes una respuesta de probabilidad exacta o una suma acumulada; «al menos k» suele ser la pregunta más útil en el mundo real (por ejemplo, «al menos 8 de 10 tiros libres») ya que captura cada resultado que supera un umbral en lugar de un conteo preciso.
Cuándo se aplica, y la aproximación normal
El modelo binomial requiere cuatro condiciones: un número fijo de ensayos, exactamente dos resultados por ensayo, una probabilidad de éxito constante entre ensayos, e independencia entre ensayos (el resultado de un ensayo no puede cambiar las probabilidades de otro). Muestrear sin reemplazo de una población pequeña viola la independencia y requiere en su lugar la distribución hipergeométrica. Cuando n es grande y p no está demasiado cerca de 0 o 1 (una regla práctica común: np ≥ 5 y n(1−p) ≥ 5), la distribución binomial se aproxima estrechamente mediante una distribución normal con la misma media y desviación estándar — útil para estimaciones mentales rápidas, aunque esta calculadora siempre computa el valor binomial exacto en lugar de la aproximación.