What is the formula for vector projection?

proj_b(a) = (a·b / |b|²) · b — take the dot product of a and b, divide by the squared magnitude of b, and use that number to scale b. The result is a vector pointing along b's direction.

What does the scalar projection mean?

The scalar projection, a·b / |b|, is the signed length of the vector projection along b's direction. It's positive when a leans toward b, negative when it leans away, and zero when a and b are perpendicular.

What is the rejection?

The rejection is a minus the projection: a − proj_b(a). It's the part of a that is perpendicular to b. Together, the projection and the rejection add back up to the original vector a.

What happens if I project onto the zero vector?

Projection onto the zero vector is undefined, since there's no direction for b to point in and the formula would divide by zero. The calculator flags this case instead of returning a misleading number.

Does this work in both 2D and 3D?

Yes — switch the dimension dropdown to enter x, y components for 2D vectors or x, y, z components for 3D vectors. The same projection, scalar component, and rejection formulas apply in both cases.

What is vector projection used for?

Vector projection is used in physics (resolving a force into components along and perpendicular to a surface), computer graphics (lighting, shadows, and camera math), and statistics and machine learning (least-squares fitting projects a data vector onto the space spanned by predictor vectors).

Vector Projection Calculator

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Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

3 pasos

1

Elige 2D o 3D e ingresa ambos vectores

Elige 2D o 3D en el menú desplegable, luego ingresa los componentes x, y (y z, si es 3D) del vector a y el vector b. El vector b es el vector sobre el que estás proyectando — proj_b(a), el componente escalar y el rechazo se recalculan al instante mientras escribes.

2

Cambia de pestaña para ver cada resultado

La pestaña Proyección de Vector muestra proj_b(a) — el componente vectorial completo de a que yace a lo largo de b. La pestaña Componente Escalar muestra la longitud con signo de esa proyección. La pestaña Rechazo muestra lo que queda de a después de eliminar la proyección: la parte perpendicular a b.

3

Prueba los chips de ejemplo

Usa los chips de ejemplo sobre las entradas para cargar una proyección 2D simple, una proyección 3D, o un caso donde a y b son perpendiculares, de modo que la proyección se reduce a casi nada y el rechazo contiene casi todo de a.

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Referencia

Fórmula y metodología

3 fórmulas

Proyección de vector

proj_b(a) = (a·b / |b|²) · b

Divide el producto punto de a y b entre |b|² (la magnitud al cuadrado de b), y luego escala b por ese número. El resultado es un vector que apunta en la misma dirección que b (o en la dirección opuesta, si a·b es negativo) — es la 'sombra' que a proyecta sobre la recta que pasa por b.

Proyección escalar (componente escalar)

comp_b(a) = a·b / |b|

La proyección escalar es la longitud con signo de proj_b(a) a lo largo de la dirección de b. Es positiva cuando a y b apuntan en una dirección ampliamente similar, negativa cuando apuntan en direcciones ampliamente opuestas, y cero cuando a y b son perpendiculares. Multiplicar comp_b(a) por el vector unitario b/|b| devuelve proj_b(a).

Rechazo (componente perpendicular)

rejection = a − proj_b(a)

Restar la proyección de a deja exactamente la parte de a que es perpendicular a b. La proyección y el rechazo siempre se suman de vuelta a a — esta descomposición divide cualquier vector en un componente a lo largo de b y un componente ortogonal a él.

📖

Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Proyección de vector El vector proj_b(a), calculado como (a·b / |b|²)·b. Es el componente de a que apunta a lo largo de la dirección de b — geométricamente, la 'sombra' de a proyectada sobre la recta que pasa por b.

Proyección escalar La longitud con signo de la proyección vectorial, a·b / |b|. Es positiva cuando a se inclina hacia la dirección de b, negativa cuando se aleja de ella, y cero cuando a y b son perpendiculares.

Rechazo El vector a − proj_b(a) — lo que queda de a después de eliminar la parte que apunta a lo largo de b. Siempre es perpendicular (ortogonal) a b.

Componente ortogonal Otro nombre para el rechazo: el componente de un vector que es perpendicular a una dirección elegida, en contraposición al componente paralelo a ella.

Fórmula de proyección proj_b(a) = (a·b / |b|²)·b — el producto punto de a y b, dividido entre la magnitud al cuadrado de b, usado para escalar b.

Vector unitario Un vector con magnitud exactamente 1. Dividir b entre |b| da su vector unitario, y multiplicar ese vector unitario por la proyección escalar reproduce proj_b(a).

Vector componente Un término general para una pieza de una descomposición vectorial — aquí, a se divide en dos vectores componente: la proyección (a lo largo de b) y el rechazo (perpendicular a b).

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

📐

Proyección 2D

a = (3, 4), b = (1, 0)

Vector a (3, 4) Vector b (1, 0)

a·b = (3)(1) + (4)(0) = 3, y |b|² = 1, así que proj_b(a) = (3/1)·(1, 0) = (3, 0). Como b apunta directamente a lo largo del eje x, la proyección simplemente extrae el componente x de a. La proyección escalar es 3/1 = 3, y el rechazo es a − (3, 0) = (0, 4) — exactamente la parte de a perpendicular al eje x.

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Proyección 3D

a = (2, 3, 4), b = (1, 0, 0)

Vector a (2, 3, 4) Vector b (1, 0, 0)

a·b = (2)(1) + (3)(0) + (4)(0) = 2, y |b|² = 1, así que proj_b(a) = (2/1)·(1, 0, 0) = (2, 0, 0). Al igual que en el caso 2D, proyectar sobre un vector que yace puramente a lo largo de un eje aísla el componente de ese eje. El rechazo, a − (2, 0, 0) = (0, 3, 4), captura los componentes y y z restantes.

⊥

Rechazo perpendicular

a = (1, 1), b = (1, −1)

Vector a (1, 1) Vector b (1, -1)

a·b = (1)(1) + (1)(−1) = 0, así que a y b son ortogonales — la proyección es el vector cero, proj_b(a) = (0, 0), y la proyección escalar es 0. Como no hay nada que eliminar, el rechazo es igual a a mismo: (1, 1) − (0, 0) = (1, 1). Este es el caso límite en que a es completamente perpendicular a b.

📄

Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Proyección de Vectores

3 capítulos · 4 min de lectura

La proyección de vectores divide un vector a en dos piezas relativas a un segundo vector b: la parte de a que apunta a lo largo de b (la proyección), y la parte restante que es perpendicular a b (el rechazo). Esta descomposición aparece constantemente en física, gráficos por computadora y estadística — en cualquier lugar donde una cantidad deba resolverse en un componente a lo largo de una dirección elegida y un componente ortogonal a ella.

Cómo funciona la Calculadora de Proyección de Vectores

La calculadora parte del producto punto a·b y la magnitud al cuadrado de b, |b|². Dividir el primero entre el segundo da un único factor de escala; multiplicar b por ese factor produce proj_b(a), un vector que siempre apunta a lo largo de la misma recta que b (hacia adelante si a·b es positivo, hacia atrás si es negativo, y hacia el vector cero si a y b son perpendiculares).

La proyección escalar, a·b / |b|, es ese mismo factor de escala multiplicado por |b| — de forma equivalente, es la longitud con signo de proj_b(a). El rechazo es lo que queda después de restar la proyección de a, y siempre es perpendicular a b por construcción: proj_b(a) y el rechazo son las dos piezas ortogonales que suman de vuelta al vector original a.

Entradas y su significado

El vector a y el vector b se ingresan como sus componentes x, y (y z, en modo 3D). El vector b es la dirección sobre la que se proyecta — intercambiar a y b cambia el resultado, ya que la proyección no es simétrica. Cambiar entre 2D y 3D determina si se muestran los campos del componente z; en 2D, z se trata como 0 para ambos vectores.

Límites y casos extremos

La proyección no está definida cuando b es el vector cero, ya que no hay dirección sobre la cual proyectar — la calculadora marca esto explícitamente en lugar de dividir entre cero. Cuando a y b son exactamente perpendiculares, la proyección colapsa al vector cero y el rechazo es igual a a mismo, ya que ninguna parte de a apunta a lo largo de b. Esta calculadora funciona con cualquier unidad consistente para los componentes del vector — simplemente usa la misma unidad para ambos vectores.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es la fórmula de la proyección de vectores?+

proj_b(a) = (a·b / |b|²) · b — toma el producto punto de a y b, divide entre la magnitud al cuadrado de b, y usa ese número para escalar b. El resultado es un vector que apunta en la dirección de b.

¿Qué significa la proyección escalar?+

La proyección escalar, a·b / |b|, es la longitud con signo de la proyección vectorial a lo largo de la dirección de b. Es positiva cuando a se inclina hacia b, negativa cuando se aleja de b, y cero cuando a y b son perpendiculares.

¿Qué es el rechazo?+

El rechazo es a menos la proyección: a − proj_b(a). Es la parte de a que es perpendicular a b. Juntos, la proyección y el rechazo se suman de vuelta al vector original a.

¿Qué pasa si proyecto sobre el vector cero?+

La proyección sobre el vector cero no está definida, ya que no hay dirección hacia la cual apunte b y la fórmula dividiría entre cero. La calculadora marca este caso en lugar de devolver un número engañoso.

¿Esto funciona tanto en 2D como en 3D?+

Sí — cambia el menú desplegable de dimensión para ingresar componentes x, y para vectores 2D o componentes x, y, z para vectores 3D. Las mismas fórmulas de proyección, componente escalar y rechazo aplican en ambos casos.

¿Para qué se usa la proyección de vectores?+

La proyección de vectores se usa en física (para descomponer una fuerza en componentes a lo largo de y perpendiculares a una superficie), en gráficos por computadora (iluminación, sombras y cálculos de cámara), y en estadística y aprendizaje automático (el ajuste por mínimos cuadrados proyecta un vector de datos sobre el espacio generado por los vectores predictores).

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Calculadora de Proyección de Vectores

Enter vectors a and b

proj_b(a) — Vector Projection

Scalar Projection

Rejection — Perpendicular Component

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Proyección 2D

Proyección 3D

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