La traza es uno de los números más simples que se pueden calcular a partir de una matriz cuadrada, y aun así encierra una sorprendente cantidad de estructura — desde una verificación rápida de sanidad en cálculos a mano hasta un atajo para la suma de los autovalores de una matriz. Esta guía cubre cómo calcularla, qué significa, y dónde aparece en álgebra lineal.
Cómo se calcula la traza
La traza de una matriz A de n×n, escrita tr(A), se define como la suma de las entradas en su diagonal principal: tr(A) = A₁₁ + A₂₂ + ... + Aₙₙ. Cualquier otra entrada de la matriz — todo lo que está fuera de la diagonal — se ignora por completo. Eso hace de la traza una de las cantidades de matriz más baratas de calcular: sin multiplicación, sin recursión, solo una suma de n números.
Debido a que la traza solo depende de matrices cuadradas, una matriz no cuadrada (digamos, una matriz de 3×4) simplemente no tiene traza definida. Esta calculadora siempre construye una cuadrícula cuadrada n×n exactamente por esa razón.
Por qué la traza es igual a la suma de los autovalores
Una de las propiedades más útiles de la traza es que tr(A) siempre es igual a la suma de los autovalores de A, contados con multiplicidad algebraica — incluso cuando esos autovalores son irracionales, complejos o repetidos. Esto se deriva del polinomio característico de A: el coeficiente del término de segundo grado más alto es (salvo el signo) la traza, y por las fórmulas de Vieta ese coeficiente también es igual a la suma de las raíces del polinomio, que son exactamente los autovalores.
Esto te da una verificación parcial y rápida de un cálculo de autovalores — si calculas autovalores a mano o con software y no suman la traza que calculaste directamente de la diagonal, algo salió mal.
Propiedades útiles y casos extremos
La traza es aditiva: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) para dos matrices cuadradas cualesquiera del mismo tamaño. También es cíclica bajo multiplicación: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), aunque la multiplicación de matrices en sí no sea conmutativa (AB ≠ BA en general). Esta propiedad cíclica es la razón por la que la traza aparece constantemente en física y estadística — permite reordenar cadenas de productos de matrices sin cambiar el resultado.
Un caso especial que vale la pena recordar: la traza de cualquier matriz identidad n×n es simplemente n, ya que cada entrada diagonal es 1. Y debido a que la traza ignora cada entrada fuera de la diagonal, dos matrices con apariencias muy diferentes pueden compartir exactamente la misma traza — es un invariante, no una huella dactilar.