What's the formula for matrix rank?

Reduce the matrix to row-echelon form using Gaussian elimination, then count the non-zero rows — that count is the rank. There's no closed-form algebraic formula; rank is defined by this reduction process (or equivalently, by the largest number of linearly independent rows or columns).

What does it mean for a matrix to have full rank?

A matrix has full rank when rank(A) equals min(rows, columns) — the maximum possible for its shape. A full-rank square matrix is always invertible. A matrix with fewer rows than columns has full row rank when its rank equals the number of rows.

What does it mean if rows are linearly dependent?

It means the matrix's rank is less than min(rows, columns) — at least one row can be written as a combination of the others (for example, one row being an exact multiple of another). Gaussian elimination reveals this by collapsing the dependent row to all zeros.

What is matrix rank actually used for?

Rank determines whether a system of linear equations Ax = b has a unique solution, infinitely many solutions, or none — it's central to solvability analysis. It's also used to check whether a matrix is invertible, to measure the dimension of a vector space spanned by a set of vectors, and in data science to detect redundant features.

What is Gaussian elimination?

Gaussian elimination is a step-by-step method that uses three row operations — swapping two rows, scaling a row, and subtracting a multiple of one row from another — to reduce a matrix to row-echelon form. This calculator uses partial pivoting, always eliminating using the largest available entry in each column, for better numerical stability.

Can this calculator find the rank of a non-square matrix?

Yes. Rows and columns are set independently (each from 1 to 5), so rectangular matrices are fully supported. For a non-square matrix the maximum possible rank is min(rows, columns), which the calculator displays alongside the computed rank.

Matrix Rank Calculator — Row-Echelon Form

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Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

4 pasos

1

Elige las dimensiones de la matriz

Selecciona el número de filas y columnas (hasta 5×5 cada una, de forma independiente) en los dos selectores. La cuadrícula de entrada se ajusta para coincidir, y un ejemplo resuelto de rango completo se carga automáticamente para que puedas ver el método en acción de inmediato.

2

Ingresa los valores de tu matriz

Haz clic en cualquier celda y escribe un número — positivo, negativo o decimal. El rango, la forma escalonada por filas y todos los pasos de eliminación se actualizan al instante mientras editas; no hay botón de Calcular que presionar.

3

Lee el rango

La tarjeta de resultado muestra el rango tan pronto como se ingresa la matriz, junto con el rango máximo posible para esa forma (el menor entre filas y columnas). La pestaña Rango lo desglosa en dimensiones, rango, rango máximo posible y un estado de Rango Completo / Rango Deficiente.

4

Revisa la forma escalonada por filas y los pasos

Cambia a la pestaña Forma Escalonada por Filas para ver la matriz después de la eliminación gaussiana, o a la pestaña Pasos para observar cada intercambio de fila y subpaso de eliminación que la produjo, con la fila que se está modificando resaltada en cada paso.

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Referencia

Fórmula y metodología

2 fórmulas

Rango mediante reducción escalonada por filas

rank(A) = number of non-zero rows in REF(A)

La eliminación gaussiana con pivoteo parcial reduce una matriz a su forma escalonada por filas (REF): en cada paso, la fila con el mayor valor absoluto en la columna pivote actual se intercambia hacia arriba, y luego a cada fila debajo de ella se le resta un múltiplo de la fila pivote para anular esa columna. Repitiendo esto para cada columna se obtiene un patrón escalonado de pivotes. El rango es simplemente el conteo de filas que no son completamente cero una vez que este proceso termina.

Límites del rango

0 ≤ rank(A) ≤ min(rows, columns)

El rango de una matriz nunca puede superar el menor entre su número de filas y su número de columnas — este es el "rango máximo posible" que se muestra junto al resultado. Cuando rank(A) es igual a ese máximo, la matriz tiene rango completo. Cuando es menor, al menos una fila es una combinación lineal de las demás (linealmente dependiente), y la reducción por filas la colapsa a una fila completamente cero.

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Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Rango El número de filas linealmente independientes en una matriz, igual al número de filas no cero después de reducirla a su forma escalonada por filas. Mide cuánta información independiente contiene realmente la matriz.

Forma escalonada por filas (REF) Una versión en forma de escalera de una matriz producida por eliminación gaussiana, donde la entrada principal (la primera distinta de cero) de cada fila se ubica estrictamente a la derecha de la fila anterior, y toda entrada debajo de una entrada principal es cero.

Eliminación gaussiana Un método sistemático para reducir una matriz a su forma escalonada por filas usando tres operaciones de fila: intercambiar dos filas, escalar una fila y sumar un múltiplo de una fila a otra. Esta calculadora usa pivoteo parcial (seleccionando la mayor entrada disponible en cada columna) para mantener la eliminación numéricamente estable.

Linealmente independiente Un conjunto de filas es linealmente independiente cuando ninguna de ellas puede escribirse como una combinación (suma de copias escaladas) de las demás. Una matriz con todas sus filas linealmente independientes tiene rango completo.

Pivote La primera entrada distinta de cero usada para eliminar las entradas debajo de ella en la misma columna durante la eliminación gaussiana. El número de pivotes encontrados es igual al rango.

Fila no cero Una fila de la forma escalonada por filas que contiene al menos una entrada distinta de cero. Contar estas filas (después de eliminar el ruido de punto flotante cercano a cero) da el rango.

Rango completo Una matriz tiene rango completo cuando su rango es igual a min(filas, columnas) — el máximo posible para su forma. Una matriz cuadrada de rango completo siempre es invertible; una con rango deficiente no lo es.

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Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

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Matriz de rango completo

A = [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]] (3×3)

Matriz A [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]]

La eliminación gaussiana reduce esto a una forma escalonada por filas con tres filas no cero, por lo que rank(A) = 3 — el máximo posible para una matriz 3×3. Las tres filas son linealmente independientes, y la matriz tiene rango completo (y por lo tanto es invertible).

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Matriz con rango deficiente

A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]] (3×3)

Matriz A [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]

La fila 2 es exactamente el doble de la fila 1, así que al eliminarla se produce una fila completamente cero. Solo quedan dos filas no cero en la forma escalonada por filas, dando rank(A) = 2 — uno menos que el máximo de 3. La calculadora marca esto como rango deficiente y nombra la fila dependiente.

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Matriz no cuadrada

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] (2×3)

Matriz A [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Para una matriz 2×3 el rango máximo posible es min(2, 3) = 2. La reducción por filas deja dos filas no cero, por lo que rank(A) = 2 — rango completo para esta forma, aunque la matriz no sea cuadrada.

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Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Rango de Matriz

3 capítulos · 4 min de lectura

El rango de una matriz te dice cuánta información independiente contiene realmente — un concepto que determina si un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única, infinitas soluciones, o ninguna en absoluto. Esta calculadora encuentra el rango de cualquier matriz de hasta 5×5 (cuadrada o rectangular) reduciéndola a su forma escalonada por filas mediante eliminación gaussiana, el mismo método enseñado en un curso introductorio de álgebra lineal.

Cómo la reducción escalonada por filas revela el rango

La eliminación gaussiana trabaja columna por columna. Para cada columna, la calculadora elige la fila con el mayor valor absoluto en esa columna (pivoteo parcial, que mantiene la aritmética numéricamente estable) y la intercambia hacia arriba entre las filas restantes si es necesario. Luego resta un múltiplo de esa fila pivote de cada fila debajo de ella, anulando las entradas bajo el pivote. Repitiendo esto para cada columna se produce una forma escalonada por filas en forma de escalera.

Una vez que la matriz está en forma escalonada por filas, el rango es simplemente el número de filas que no son completamente cero. Cualquier fila que se vuelva completamente cero durante la eliminación representa una fila de la matriz original que era una combinación lineal de las demás — no aportaba información nueva.

Entradas y su significado

Elige el número de filas y columnas de forma independiente (de 1 a 5 cada una), luego completa la cuadrícula con cualquier número real. La matriz no necesita ser cuadrada — las matrices rectangulares son totalmente compatibles, y la calculadora limita automáticamente el rango máximo posible a min(filas, columnas). Usa los botones predefinidos para cargar un ejemplo de rango completo, un ejemplo con rango deficiente con filas dependientes, un ejemplo no cuadrado, o la matriz identidad.

Límites y casos extremos

El rango siempre es un número entero entre 0 (solo para la matriz completamente cero) y min(filas, columnas). La aritmética de punto flotante puede dejar pequeños residuos distintos de cero (como 1e-15) donde un valor debería ser exactamente cero — la calculadora trata cualquier cosa menor que una pequeña tolerancia como cero para que estos artefactos numéricos no inflen el rango. Esta calculadora admite matrices de hasta 5×5; para la inversión completa de matrices usa la Calculadora de Matriz Inversa dedicada, y para resolver un sistema de ecuaciones lineales directamente usa la Calculadora de Sistemas de Ecuaciones.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es la fórmula del rango de una matriz?+

Reduce la matriz a su forma escalonada por filas usando eliminación gaussiana, luego cuenta las filas no cero — ese conteo es el rango. No hay una fórmula algebraica cerrada; el rango se define mediante este proceso de reducción (o de forma equivalente, por el mayor número de filas o columnas linealmente independientes).

¿Qué significa que una matriz tenga rango completo?+

Una matriz tiene rango completo cuando rank(A) es igual a min(filas, columnas) — el máximo posible para su forma. Una matriz cuadrada de rango completo siempre es invertible. Una matriz con menos filas que columnas tiene rango de fila completo cuando su rango es igual al número de filas.

¿Qué significa que las filas sean linealmente dependientes?+

Significa que el rango de la matriz es menor que min(filas, columnas) — al menos una fila puede escribirse como una combinación de las demás (por ejemplo, una fila siendo un múltiplo exacto de otra). La eliminación gaussiana revela esto colapsando la fila dependiente a ceros.

¿Para qué se usa realmente el rango de una matriz?+

El rango determina si un sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene una solución única, infinitas soluciones, o ninguna — es central para el análisis de solubilidad. También se usa para verificar si una matriz es invertible, para medir la dimensión de un espacio vectorial generado por un conjunto de vectores, y en ciencia de datos para detectar características redundantes.

¿Qué es la eliminación gaussiana?+

La eliminación gaussiana es un método paso a paso que usa tres operaciones de fila — intercambiar dos filas, escalar una fila y restar un múltiplo de una fila de otra — para reducir una matriz a su forma escalonada por filas. Esta calculadora usa pivoteo parcial, eliminando siempre con la mayor entrada disponible en cada columna, para una mejor estabilidad numérica.

¿Puede esta calculadora encontrar el rango de una matriz no cuadrada?+

Sí. Las filas y columnas se establecen de forma independiente (cada una de 1 a 5), por lo que las matrices rectangulares son totalmente compatibles. Para una matriz no cuadrada, el rango máximo posible es min(filas, columnas), que la calculadora muestra junto al rango calculado.

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