La multiplicación de matrices combina dos matrices en una nueva usando productos punto de fila por columna, no una simple multiplicación entrada por entrada. Esta calculadora calcula A×B para matrices de hasta 4×4, muestra la expansión completa del producto punto para cada celda del resultado, y verifica la regla de dimensiones que decide si la multiplicación es siquiera posible.
Cómo funciona la multiplicación fila por columna
La multiplicación de matrices no multiplica las matrices entrada por entrada de la forma en que lo hace la suma. En cambio, cada entrada del producto C proviene de un producto punto: para encontrar C[i][j], la calculadora recorre la fila i de la matriz A y baja por la columna j de la matriz B al mismo tiempo, multiplicando pares correspondientes de números y sumando los resultados. Para una matriz A de 2×3 y una matriz B de 3×2, cada entrada de C es la suma de tres productos, uno por cada índice compartido.
La pestaña de Pasos lista esta expansión para cada celda del producto, de modo que C[1][1] = A[1][1]·B[1][1] + A[1][2]·B[2][1] + A[1][3]·B[3][1], con el total acumulado mostrado al final de la línea. Debido a que el número de términos en cada producto punto siempre es igual a la dimensión interna compartida — las columnas de A, que deben coincidir con las filas de B — las matrices más grandes simplemente agregan más términos por celda en lugar de cambiar el método subyacente. Trabajar una fila a mano junto con la pestaña de Pasos es la forma más rápida de construir intuición para la fórmula.
Leyendo la regla de dimensiones
Dos matrices solo pueden multiplicarse cuando el número de columnas en la primera coincide con el número de filas en la segunda — si A es m×n y B es n×p, solo entonces existe A×B, y el resultado siempre es m×p. Esta calculadora mantiene la matriz A y la matriz B en selectores de tamaño completamente independientes precisamente para que puedas explorar ambos lados de esa regla: elige tamaños compatibles y el producto aparece inmediatamente, o elige tamaños incompatibles y la pestaña de Verificación de Dimensiones explica exactamente por qué falla la multiplicación.
La regla es fácil de recordar mal como "las matrices deben ser del mismo tamaño", pero eso solo es cierto para matrices cuadradas de igual dimensión; en general A×B y B×A pueden tener formas completamente diferentes, o uno puede existir mientras el otro no. Observar cómo el indicador ✓/✗ se actualiza en vivo mientras cambias el número de filas o columnas de cualquiera de las matrices es una forma rápida de internalizar qué pares de dimensiones realmente funcionan.
Límites y casos extremos
Esta calculadora admite matrices de hasta 4×4 por cada lado, lo que cubre la gran mayoría de los problemas resueltos a mano y de tipo tarea mientras mantiene cada paso del producto punto legible en pantalla. La multiplicación no es conmutativa — intercambiar el orden para calcular B×A puede producir una matriz completamente diferente, o puede que ni siquiera esté definida si las dimensiones ya no coinciden — por lo que la calculadora siempre calcula A×B en el orden en que se ingresan las matrices, nunca al revés.
Multiplicar cualquier matriz por una matriz identidad compatible la deja sin cambios (A×I = A), lo cual es una comprobación útil de cordura disponible directamente desde la tira de preajustes. Para operaciones más allá de la multiplicación — suma, resta, multiplicación escalar, transposición, determinante, inversa, o resolución de sistemas de ecuaciones — la Calculadora de Matrices de propósito general maneja todas esas en una sola herramienta, mientras que las calculadoras dedicadas de Determinante de Matriz y Matriz Inversa ofrecen desgloses paso a paso más profundos para esas dos operaciones específicas.