What's the formula behind LU decomposition?

A = LU, produced by running Gaussian elimination and recording each elimination multiplier into L instead of discarding it, while U keeps whatever remains after elimination. When partial pivoting is needed, the exact relationship is P·A = LU, where P records any row swaps.

What does "Doolittle" mean?

Doolittle's method is the specific LU convention this calculator uses: L's diagonal entries are all forced to be 1, so each elimination multiplier has one unambiguous place to live. (Crout's method is the mirror-image convention, forcing U's diagonal to be 1s instead.)

When does LU decomposition fail?

It fails outright only when a column has no usable pivot — every entry from the current row down is zero — and no row swap can fix that. Partial pivoting (swapping in the largest available entry, giving P·A = LU) rescues most cases where the raw diagonal entry alone would have been zero.

How do you get the determinant from an LU decomposition?

Multiply U's diagonal entries together, then flip the sign once for every row swap performed during partial pivoting. With no swaps, det(A) is simply the product of U's diagonal.

What is LU decomposition actually used for?

Mainly for solving Ax = b efficiently, especially when the same A needs to be solved against many different b vectors — each new solve only costs a forward- and back-substitution instead of a full elimination. It's also the standard method numerical libraries use internally to compute determinants and matrix inverses.

How can I check that my L and U are correct?

Multiply L by U and compare the result to the original matrix A (or to P·A if any row swaps occurred) — they should match. This calculator does exactly that check automatically on the Determinant & Verify tab.

LU Decomposition Calculator — A = LU

Determinant and the L times U reconstruction check
Check	Result
det(A) = product of U diagonal	—
L × U reconstructs A	—

📋

Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

5 pasos

1

Elige un tamaño de matriz

Selecciona 2×2, 3×3 o 4×4 en el selector de tamaño de la pestaña de Matrices L y U. La cuadrícula de entrada se reconstruye al instante, y cualquier valor que aún encaje en el nuevo tamaño se conserva.

2

Ingresa las entradas de la matriz A

Escribe un número en cada celda, fila por fila. Los números negativos y decimales están bien — la descomposición se recalcula en cada pulsación de tecla, sin necesidad de un botón de Calcular.

3

Lee L y U

La tarjeta de resultados muestra el factor triangular inferior L y el factor triangular superior U tan pronto como se completa cada celda. Si se necesitó un intercambio de filas, la matriz de permutación P también aparece.

4

Abre la pestaña de Pasos

Cambia a Pasos para ver el recorrido completo de la eliminación gaussiana — cada búsqueda de pivote, cualquier intercambio de filas, y cada eliminación que anula una entrada debajo del pivote, cada una con el estado de la matriz en ese momento.

5

Revisa el determinante y verifica

Abre Determinante y Verificación para ver det(A) calculado como el producto (con signo corregido) de la diagonal de U, más una comprobación lado a lado de que L × U reconstruye la matriz original (posiblemente reordenada por filas). Usa los chips predefinidos para ver un caso sin pivoteo, un caso con pivoteo y un caso singular resueltos al instante.

⚡

Referencia

Fórmula y metodología

3 fórmulas

Factorización LU de Doolittle

A = L · U (o, con pivoteo, P · A = L · U)

El método de Doolittle factoriza una matriz cuadrada A en una matriz triangular inferior L con unos en su diagonal y una matriz triangular superior U, ejecutando la eliminación gaussiana ordinaria y registrando los multiplicadores de eliminación en L en lugar de descartarlos. Cuando un pivote (la entrada diagonal que se está eliminando actualmente) es demasiado pequeño o cero, la calculadora intercambia la entrada más grande disponible de las filas debajo de él — una matriz de permutación P entonces registra qué filas originales terminaron dónde, por lo que la identidad exacta que se mantiene es P · A = L · U.

Multiplicador de eliminación (entradas de L)

L[i][j] = A[i][j] ⁄ A[j][j] (evaluado en el momento en que se elimina la columna j)

Cada entrada subdiagonal de L es el multiplicador usado para anular A[i][j] durante la eliminación — la cantidad de la fila de pivote j que se resta de la fila i. U es simplemente la matriz que queda después de cada paso de eliminación: su diagonal y sus entradas por encima de la diagonal son lo que sobrevive una vez que todas las columnas a su izquierda han sido eliminadas.

Determinante a partir de U

det(A) = (−1)^(número de intercambios de filas) · U₁₁ · U₂₂ · ⋯ · Uₙₙ

Debido a que L es triangular inferior unitaria (det(L) = 1) y la permutación P construida a partir del pivoteo parcial tiene det(P) = (−1) elevado al número de intercambios de filas realizados, det(A) resulta ser el producto de las entradas diagonales de U, con el signo invertido una vez por cada intercambio. Sin pivoteo, esa corrección de signo es simplemente +1.

📖

Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Descomposición LU Factorizar una matriz cuadrada A en una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U tal que A = LU (o P·A = LU cuando se necesitaron intercambios de filas). Empaqueta el trabajo de la eliminación gaussiana para que pueda reutilizarse eficientemente.

Triangular inferior Una matriz donde cada entrada por encima de la diagonal principal es cero. En el método de Doolittle, L es además triangular inferior unitaria — sus entradas diagonales son todas 1.

Triangular superior Una matriz donde cada entrada por debajo de la diagonal principal es cero. U es lo que queda de A después de que la eliminación gaussiana ha anulado todo por debajo de cada pivote.

Método de Doolittle La convención LU específica usada aquí: la diagonal de L se fuerza a ser todos 1s, por lo que cada multiplicador de eliminación tiene un único hogar inequívoco en L y U lleva el factor de escala que queda. (La alternativa, el método de Crout, en cambio fuerza la diagonal de U a ser 1s.)

Eliminación gaussiana El proceso de reducción por filas de usar una fila (la fila de pivote) para anular las entradas debajo de ella en la misma columna, repetido columna por columna hasta que la matriz sea triangular superior. La descomposición LU es la eliminación gaussiana con los multiplicadores conservados en lugar de descartados.

Pivoteo parcial Antes de eliminar una columna, intercambiar la fila restante que tenga la entrada de mayor magnitud en esa columna, para que se convierta en el pivote. Esto evita dividir entre cero (o un pivote innecesariamente pequeño) y mantiene la aritmética numéricamente estable.

Factorización de matrices Reescribir una matriz como el producto de dos o más matrices más simples. La descomposición LU es una de las factorizaciones más usadas porque los sistemas triangulares (como L y U) son mucho más baratos de resolver que una matriz general.

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

🔢

3×3 sin pivoteo

A = [[4, 1, 1], [2, 5, 1], [1, 1, 3]]

Tamaño 3×3 Matriz [4, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 3]

La entrada más grande de la columna 1 ya está en la diagonal (4 supera a 2 y 1), por lo que no se necesita intercambio. Eliminando, se obtiene L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[0.25,0.1667,1]] y U = [[4,1,1],[0,4.5,0.5],[0,0,2.6667]]. det(A) = 4 × 4.5 × 2.6667 = 48, coincidiendo con una expansión directa.

🔁

Matriz que necesita pivoteo parcial

A = [[0, 1, 1], [2, 1, 1], [1, 2, 3]]

Tamaño 3×3 Matriz [0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3]

Un cero se encuentra en la posición (1,1), por lo que la columna 1 intercambia inmediatamente la fila 2 (entrada 2). Después de eliminar, la columna 2 necesita un segundo intercambio. Dos intercambios significan que la corrección de signo se cancela: det(A) = +(2 × 1.5 × −0.6667) = −2, lo que coincide con expandir directamente la A original.

🧮

Determinante leído de la diagonal de U

A = [[2, 1, 0, 3], [0, 3, 4, 1], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 5]]

Tamaño 4×4 Matriz [2, 1, 0, 3, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 5]

A ya es triangular superior, por lo que U = A exactamente y L es la identidad — no hay eliminación ni pivoteo que hacer. det(A) es simplemente el producto de la diagonal: 2 × 3 × 1 × 5 = 30.

📄

Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Descomposición LU

3 capítulos · 5 min de lectura

La descomposición LU reescribe una matriz cuadrada A como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U, de modo que A = LU. Es la misma aritmética que la eliminación gaussiana ordinaria, solo empaquetada para que el trabajo de eliminación pueda reutilizarse — que es exactamente por qué es el método predeterminado que la mayoría de las bibliotecas numéricas usan para resolver sistemas lineales, invertir matrices y calcular determinantes.

¿Por qué molestarse en factorizar A?

Si solo necesitas resolver Ax = b una vez, la eliminación gaussiana simple en la matriz aumentada funciona bien. La descomposición LU vale la pena cuando necesitas resolver Ax = b para la misma A contra muchos vectores b diferentes — una situación común en simulaciones, análisis de circuitos y solucionadores iterativos. Una vez que se calcula A = LU, cada nueva b solo cuesta una sustitución hacia adelante barata (resolver Ly = b) seguida de una sustitución hacia atrás barata (resolver Ux = y), en lugar de volver a ejecutar la eliminación completa O(n³) desde cero cada vez.

Cómo el pivoteo parcial mantiene la corrección

La eliminación gaussiana falla en el momento en que un pivote (la entrada diagonal entre la cual estás a punto de dividir) es cero — no puedes dividir entre cero, y dividir entre un número muy pequeño amplifica el error de redondeo. El pivoteo parcial soluciona esto escaneando las filas restantes en la columna actual e intercambiando la que tenga el mayor valor absoluto antes de eliminar. Cada intercambio se registra en una matriz de permutación P, por lo que la identidad que se mantiene después es P·A = L·U en lugar de A = L·U. La pestaña de Pasos de esta calculadora muestra exactamente cuándo y por qué ocurre cada intercambio.

El determinante es un subproducto gratuito

Debido a que L es triangular con 1s en su diagonal, det(L) = 1 siempre. Debido a que U es triangular, su determinante es simplemente el producto de su diagonal. Y debido a que cada intercambio de filas invierte el signo de un determinante, det(A) resulta ser (−1)^(número de intercambios) × (producto de la diagonal de U) — sin necesidad de una expansión por cofactores separada. Esta es también la razón por la que un cero en cualquier lugar de la diagonal de U señala una matriz singular: el producto se vuelve cero, por lo que det(A) = 0 sin importar qué haya hecho el pivoteo a lo largo del camino.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es la fórmula detrás de la descomposición LU?+

A = LU, producida ejecutando la eliminación gaussiana y registrando cada multiplicador de eliminación en L en lugar de descartarlo, mientras U conserva lo que queda después de la eliminación. Cuando se necesita pivoteo parcial, la relación exacta es P·A = LU, donde P registra cualquier intercambio de filas.

¿Qué significa "Doolittle"?+

El método de Doolittle es la convención LU específica que usa esta calculadora: las entradas diagonales de L se fuerzan a ser todas 1, por lo que cada multiplicador de eliminación tiene un lugar único e inequívoco donde estar. (El método de Crout es la convención espejo, forzando en su lugar la diagonal de U a ser 1s.)

¿Cuándo falla la descomposición LU?+

Falla completamente solo cuando una columna no tiene pivote utilizable — cada entrada desde la fila actual hacia abajo es cero — y ningún intercambio de filas puede solucionarlo. El pivoteo parcial (intercambiando la entrada más grande disponible, dando P·A = LU) rescata la mayoría de los casos donde la entrada diagonal cruda por sí sola habría sido cero.

¿Cómo se obtiene el determinante a partir de una descomposición LU?+

Multiplica las entradas diagonales de U, luego invierte el signo una vez por cada intercambio de filas realizado durante el pivoteo parcial. Sin intercambios, det(A) es simplemente el producto de la diagonal de U.

¿Para qué se usa realmente la descomposición LU?+

Principalmente para resolver Ax = b eficientemente, especialmente cuando la misma A necesita resolverse contra muchos vectores b diferentes — cada nueva resolución solo cuesta una sustitución hacia adelante y hacia atrás en lugar de una eliminación completa. También es el método estándar que las bibliotecas numéricas usan internamente para calcular determinantes e inversas de matrices.

¿Cómo puedo comprobar que mis L y U son correctas?+

Multiplica L por U y compara el resultado con la matriz original A (o con P·A si ocurrieron intercambios de filas) — deberían coincidir. Esta calculadora hace exactamente esa comprobación automáticamente en la pestaña Determinante y Verificación.

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Calculadora de Descomposición LU

Matrix A

A = L × U

Gaussian elimination steps

Elimination walk

det(A) and verification

det(A)

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3×3 sin pivoteo

Matriz que necesita pivoteo parcial

Determinante leído de la diagonal de U

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¿Por qué molestarse en factorizar A?

Cómo el pivoteo parcial mantiene la corrección

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