What is the formula for the dot product?

The dot product of two vectors a and b is a · b = Σaᵢbᵢ — the sum of the products of their corresponding components. For 2D vectors that's axbx + ayby; for 3D vectors it's axbx + ayby + azbz. The result is always a single number (a scalar), not a vector.

What is the formula for the angle between two vectors?

θ = arccos((a · b) / (|a| |b|)), where |a| and |b| are the magnitudes (lengths) of the two vectors. This comes from rearranging the geometric identity a · b = |a||b|cos θ.

How do I know if two vectors are orthogonal?

Two vectors are orthogonal (perpendicular) exactly when their dot product equals 0. This calculator's Orthogonal Check tab computes a · b and reports Yes or No automatically.

Does this work for 2D and 3D vectors?

Yes — switch the Dimensions selector to 2D (x, y) or 3D (x, y, z). The same Σaᵢbᵢ formula extends to any number of dimensions (nD); for higher dimensions, add one more axᵢbᵢ term per dimension.

Is the dot product commutative?

Yes. a · b = b · a, because multiplication of the individual scalar components is commutative and the sum doesn't depend on the order of the terms.

What does a negative dot product mean?

A negative dot product means the angle between the two vectors is greater than 90° — they generally point in opposing directions. A positive dot product means the angle is less than 90° (pointing roughly the same way), and a dot product of exactly 0 means the vectors are orthogonal (exactly 90°).

Dot Product Calculator — a·b & Angle Between Vectors

📋

Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

3 pasos

1

Elige 2D o 3D e ingresa ambos vectores

Selecciona 2D (x, y) o 3D (x, y, z), luego escribe las componentes del vector a y del vector b en los campos etiquetados. Puedes usar números positivos o negativos y decimales. La calculadora actualiza cada resultado al instante mientras escribes.

2

Lee el producto punto, el ángulo y la ortogonalidad

La pestaña de Producto Punto muestra a · b = Σaᵢbᵢ. La pestaña de Ángulo Entre Vectores muestra el ángulo θ = arccos((a · b) / (|a||b|)) en grados. La pestaña de Verificación de Ortogonalidad te dice si a · b = 0, lo que significa que los vectores se encuentran en un ángulo recto.

3

Prueba algunos pares de vectores

Usa los chips de ejemplo para cargar un par en 2D, un par en 3D, o un par ortogonal conocido (como (1,0) y (0,1)). Comparar un par paralelo, un par perpendicular y un par arbitrario construye intuición sobre cómo el signo y la magnitud del producto punto se relacionan con el ángulo entre vectores.

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Referencia

Fórmula y metodología

3 fórmulas

Producto punto

a · b = Σ aᵢbᵢ = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ

El producto punto (también llamado producto escalar) de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes correspondientes. Para vectores 2D es axbx + ayby; para vectores 3D es axbx + ayby + azbz. El resultado siempre es un solo número escalar, no un vector.

Ángulo entre dos vectores

θ = arccos( (a · b) / (|a| |b|) )

Reordenar la definición geométrica del producto punto (a · b = |a||b|cos θ) da el ángulo entre los dos vectores. |a| y |b| son las magnitudes de los vectores (longitudes euclidianas). Esta fórmula no está definida cuando alguno de los vectores tiene magnitud cero — no hay dirección desde la cual medir un ángulo.

Prueba de ortogonalidad

a ⊥ b ⇔ a · b = 0

Dos vectores distintos de cero son ortogonales (perpendiculares, se encuentran en 90°) exactamente cuando su producto punto es igual a cero. Esto se sigue directamente de la fórmula del ángulo, ya que cos(90°) = 0.

📖

Glosario

Términos clave explicados

6 términos

Producto punto Un valor escalar calculado sumando los productos de las componentes correspondientes de dos vectores de la misma dimensión. También llamado producto escalar.

Producto escalar Otro nombre para el producto punto — enfatiza que el resultado es un solo número (escalar), a diferencia del producto vectorial, que devuelve un vector.

Ángulo entre vectores El ángulo θ, entre 0° y 180°, formado donde se encuentran las colas de dos vectores dibujados desde el mismo origen. Se calcula a partir del producto punto y las magnitudes de ambos vectores.

Ortogonal Dos vectores son ortogonales cuando se encuentran exactamente en 90°, lo que ocurre si y solo si su producto punto es 0. En 2D y 3D esto es lo mismo que "perpendicular".

Magnitud La longitud de un vector, escrita |v|, calculada como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes (la norma euclidiana).

Componentes del vector Los valores de coordenadas individuales que componen un vector — x e y para vectores 2D, o x, y y z para vectores 3D.

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

📐

Vectores 2D

a = (1, 2), b = (3, 4)

Vector a (1, 2) Vector b (3, 4)

a · b = (1)(3) + (2)(4) = 3 + 8 = 11. Como el producto punto es positivo, el ángulo entre a y b es menor a 90° (aquí es de aproximadamente 10.3°) — los vectores apuntan aproximadamente en la misma dirección general.

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Vectores 3D

a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)

Vector a (1, 2, 3) Vector b (4, 5, 6)

a · b = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32. |a| ≈ 3.742 y |b| ≈ 8.775, por lo que θ = arccos(32 / (3.742 × 8.775)) ≈ 12.9° — los vectores apuntan casi en la misma dirección.

⊥

Caso ortogonal

a = (1, 0), b = (0, 1)

Vector a (1, 0) Vector b (0, 1)

a · b = (1)(0) + (0)(1) = 0. Debido a que el producto punto es 0, a y b son ortogonales — forman un ángulo de 90°, exactamente como cabría esperar de los vectores unitarios del eje x y del eje y.

📄

Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Producto Punto

3 capítulos · 4 min de lectura

El producto punto es una de las operaciones más útiles en el álgebra vectorial: convierte dos vectores en un solo número que te dice cuánto apuntan en la misma dirección. Esta calculadora calcula a · b para vectores 2D o 3D, convierte ese resultado en el ángulo entre los vectores, y marca cuándo los vectores son ortogonales.

Cómo funciona la Calculadora de Producto Punto

Dados dos vectores a y b de la misma dimensión, la calculadora suma los productos de sus componentes correspondientes: a · b = a_xb_x + a_yb_y (2D) o a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z (3D). Luego calcula la magnitud de cada vector (|a| y |b|) y usa la identidad a · b = |a||b|cos θ para despejar el ángulo θ = arccos((a · b) / (|a||b|)). Finalmente, comprueba si a · b es igual a cero (dentro de una tolerancia de punto flotante) para reportar la ortogonalidad.

Entradas y su significado

Elige 2D o 3D en el selector de dimensión, luego ingresa las componentes x, y (y z, para 3D) del vector a y del vector b. Las componentes pueden ser positivas, negativas, cero o decimales. No hay conversión de unidades — el resultado está en las mismas unidades que tus entradas (por ejemplo, si tus componentes están en metros, el producto punto y las magnitudes están en unidades basadas en metros, y el ángulo siempre se reporta en grados). El signo del producto punto es informativo por sí mismo: positivo significa que los vectores generalmente apuntan de la misma manera (ángulo menor a 90°), negativo significa que generalmente apuntan de manera opuesta (ángulo mayor a 90°), y cero significa que son exactamente perpendiculares.

Límites y casos extremos

El ángulo entre vectores no está definido cuando alguno de los vectores tiene magnitud cero — no hay dirección desde la cual medir en un vector cero, por lo que las pestañas de Ángulo Entre Vectores y Verificación de Ortogonalidad mostrarán un mensaje en lugar de un número en ese caso. Esta calculadora maneja vectores 2D y 3D; para productos punto de mayor dimensión (nD), se aplica la misma fórmula Σaᵢbᵢ, simplemente extendida con más términos — puedes calcularlos a mano o con una herramienta matemática de propósito general. El redondeo de punto flotante significa que la verificación de ortogonalidad usa una pequeña tolerancia numérica en lugar de requerir que el producto punto sea exactamente 0.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es la fórmula del producto punto?+

El producto punto de dos vectores a y b es a · b = Σaᵢbᵢ — la suma de los productos de sus componentes correspondientes. Para vectores 2D eso es axbx + ayby; para vectores 3D es axbx + ayby + azbz. El resultado siempre es un solo número (un escalar), no un vector.

¿Cuál es la fórmula para el ángulo entre dos vectores?+

θ = arccos((a · b) / (|a| |b|)), donde |a| y |b| son las magnitudes (longitudes) de los dos vectores. Esto proviene de reordenar la identidad geométrica a · b = |a||b|cos θ.

¿Cómo sé si dos vectores son ortogonales?+

Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) exactamente cuando su producto punto es igual a 0. La pestaña de Verificación de Ortogonalidad de esta calculadora computa a · b y reporta Sí o No automáticamente.

¿Esto funciona para vectores 2D y 3D?+

Sí — cambia el selector de Dimensiones a 2D (x, y) o 3D (x, y, z). La misma fórmula Σaᵢbᵢ se extiende a cualquier número de dimensiones (nD); para dimensiones mayores, agrega un término más axᵢbᵢ por dimensión.

¿Es conmutativo el producto punto?+

Sí. a · b = b · a, porque la multiplicación de las componentes escalares individuales es conmutativa y la suma no depende del orden de los términos.

¿Qué significa un producto punto negativo?+

Un producto punto negativo significa que el ángulo entre los dos vectores es mayor a 90° — generalmente apuntan en direcciones opuestas. Un producto punto positivo significa que el ángulo es menor a 90° (apuntando aproximadamente de la misma manera), y un producto punto de exactamente 0 significa que los vectores son ortogonales (exactamente 90°).

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Calculadora de Producto Punto

Enter vectors a and b

a · b

Angle Between Vectors

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