What is the cofactor expansion formula?

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ, where the sum runs over the entries of a chosen row i (or, symmetrically, over a chosen column j), and Mᵢⱼ is the determinant of the minor left after deleting that row and column.

A minor Mᵢⱼ is the determinant of the smaller matrix left over after deleting row i and column j from the original matrix. For a 3×3 matrix, every minor is a 2×2 determinant; for a 4×4 matrix, every minor is a 3×3 determinant.

What determines the +/− sign pattern?

The sign is (−1)^(i+j), which produces a checkerboard pattern: + when the row and column indices sum to an even number, − when they sum to an odd number. The pattern always starts with + in the top-left corner.

Which row or column is best to expand along?

Any row or column gives the same final determinant, but the one with the most zero entries takes the least arithmetic — every zero entry makes its whole term vanish without needing to compute a minor for it.

Do I get the same determinant no matter which row or column I choose?

Yes, always. That's a fundamental property of the determinant — cofactor expansion along any row or any column of the same matrix produces the identical numeric result.

How does this work for a 4×4 matrix?

Each entry's minor for a 4×4 matrix is a 3×3 matrix, so the calculator computes that 3×3 minor's determinant (recursing down to the 2×2 base case internally) before combining the four top-level terms into the final 4×4 determinant.

Cofactor Expansion Calculator — Laplace Expansion

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Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

4 pasos

1

Elige un tamaño de matriz

Selecciona 3×3 o 4×4 en el selector de tamaño. La cuadrícula de entrada se ajusta para coincidir, y un ejemplo resuelto se carga automáticamente para que puedas ver el método en acción de inmediato.

2

Ingresa los valores de tu matriz

Haz clic en cualquier celda de la matriz A y escribe un número. El determinante, los menores, los cofactores y los pasos de expansión se actualizan al instante mientras editas — no hay botón de Calcular que presionar.

3

Elige una fila o columna para expandir

Usa el selector Expandir A Lo Largo De para elegir cualquier fila o columna. El determinante siempre resulta el mismo sin importar cuál elijas — elegir la que tiene más ceros solo hace que la aritmética sea más corta.

4

Lee los menores, cofactores y pasos

La pestaña de Menores y Cofactores muestra el patrón de signos en tablero de ajedrez más cada matriz menor y su determinante para la fila o columna que elegiste. La pestaña de Pasos de Expansión muestra la ecuación completa sustituida, desde la fórmula hasta la respuesta final.

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Referencia

Fórmula y metodología

2 fórmulas

Expansión de Laplace (por cofactores)

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ

Para expandir a lo largo de la fila i, suma sobre cada columna j: multiplica cada entrada A[i][j] por su cofactor, que es el determinante con signo del menor Mᵢⱼ — la matriz (n−1)×(n−1) que queda después de eliminar la fila i y la columna j. El signo alterna en un patrón de tablero de ajedrez, (−1)^(i+j). Expandir a lo largo de una columna en su lugar funciona de la misma manera, sumando sobre las filas i para una columna fija j. El resultado es idéntico sin importar qué fila o columna se elija.

Recursión para 4×4

Menor de M₄ₓ₄ → expandido de nuevo hasta un caso base de 2×2

Para una matriz 4×4, cada menor es a su vez una matriz 3×3. Esta calculadora computa el determinante de ese menor 3×3 directamente (recurriendo internamente hasta el caso base 2×2, ad − bc), de modo que una expansión 4×4 siempre se resuelve en cuatro menores 3×3 completamente desarrollados.

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Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Cofactor El determinante menor con signo en una fila y columna dadas: Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ. El signo alterna en un patrón de tablero de ajedrez comenzando con + en la esquina superior izquierda.

Menor El determinante de la matriz más pequeña que queda después de eliminar una fila y una columna de la matriz original. Un menor de una matriz 3×3 es un determinante 2×2; un menor de una matriz 4×4 es un determinante 3×3.

Expansión de Laplace Otro nombre para la expansión por cofactores — el método de calcular un determinante sumando productos con signo de las entradas y sus cofactores a lo largo de una sola fila o columna.

Patrón de signos en tablero de ajedrez El patrón alternante +/− de (−1)^(i+j) a través de cada celda de una matriz, comenzando con + en la esquina superior izquierda. Determina si cada término en la expansión se suma o se resta.

Determinante (det(A)) Un solo número calculado a partir de una matriz cuadrada que codifica propiedades como la invertibilidad y el escalamiento de volumen. La expansión por cofactores es un método general para calcularlo.

Fila/columna de expansión La fila o columna elegida como base para la expansión. Cualquier fila o columna da el mismo determinante final — elegir una con más entradas cero reduce el número de menores que necesitan calcularse.

Matriz de cofactores La matriz formada al reemplazar cada entrada con su propio cofactor. Es un paso intermedio usado por otros métodos (como la fórmula de la adjunta/inversa), pero esta calculadora solo calcula los cofactores necesarios para la fila o columna que elegiste.

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Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

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3×3 expandida a lo largo de la fila 1

A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

Matriz A [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] Expandir a lo largo de Fila 1

Expandiendo a lo largo de la fila 1: det(A) = 1·M₁₁ − 2·M₁₂ + 3·M₁₃ = 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = 1·(−24) − 2·(−20) + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1. Un ejemplo clásico de libro de texto — det(A) = 1 sin importar la fila o columna a lo largo de la cual expandas.

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4×4 a lo largo de una fila con muchos ceros

A = [[2, 0, 1, 3], [0, 0, 5, 0], [1, 4, 2, 1], [3, 1, 0, 2]]

Matriz A [[2, 0, 1, 3], [0, 0, 5, 0], [1, 4, 2, 1], [3, 1, 0, 2]] Expandir a lo largo de Fila 2

La fila 2 tiene tres entradas cero, por lo que tres de los cuatro términos de cofactor se anulan automáticamente — solo el único 5 en esa fila necesita que se calcule su menor 3×3. Ese es el beneficio de eficiencia de elegir la fila o columna con más ceros: el mismo determinante con mucha menos aritmética que expandir a lo largo de una fila llena de números distintos de cero.

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Leyendo el patrón de signos en tablero de ajedrez

Cualquier matriz n×n

Posición (1,1) + Posición (1,2) −

Cada posición (i, j) recibe un signo de (−1)^(i+j): + cuando los índices de fila y columna suman un número par, − cuando suman un número impar. Leyendo a lo largo de cualquier fila (o hacia abajo por cualquier columna), los signos siempre alternan +, −, +, −, por lo que se llama un patrón de tablero de ajedrez. La pestaña de Menores y Cofactores dibuja esta cuadrícula completa y resalta la fila o columna que se está expandiendo actualmente.

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Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Expansión por Cofactores

4 capítulos · 4 min de lectura

La expansión por cofactores (de Laplace) es el método de propósito general para calcular un determinante de matriz a mano: elige cualquier fila o columna, multiplica cada entrada por su determinante menor con signo, y suma los resultados. Esta calculadora te permite elegir esa fila o columna tú mismo para una matriz 3×3 o 4×4, y luego muestra cada menor, cada cofactor y la ecuación completamente sustituida — los mismos pasos resueltos que un curso de álgebra lineal esperaría que escribieras.

Cómo funciona la expansión por cofactores

Elige una fila (o columna) para expandir. Para cada entrada en esa fila, elimina su fila y columna de la matriz para obtener una matriz "menor" más pequeña, luego toma el determinante de ese menor. Multiplica la entrada por el determinante de su menor y por un signo alternante (+, −, +, − en un patrón de tablero de ajedrez basado en la posición), luego suma todos esos productos con signo. El resultado es el determinante de toda la matriz — y resulta idéntico sin importar qué fila o columna elijas.

Para una matriz 4×4, cada menor es a su vez una matriz 3×3, por lo que la calculadora calcula ese determinante más pequeño directamente antes de combinarlo en la suma de nivel superior. La pestaña de Pasos de Expansión muestra la fórmula, los números sustituidos y el total acumulado que suma hasta la respuesta final.

Entradas y su significado

Elige un tamaño de matriz (3×3 o 4×4), completa la cuadrícula con cualquier número real, luego elige una fila o columna del selector Expandir A Lo Largo De. No hay conversión de unidades involucrada — la calculadora trabaja con los números exactamente como se ingresan. Usa los botones predefinidos para cargar la matriz identidad, un ejemplo resuelto, o una cuadrícula en blanco para comenzar desde cero.

Por qué importa (y no importa) la elección de fila o columna

Matemáticamente, cada fila y columna da exactamente el mismo determinante — esa es una propiedad fundamental de la expansión por cofactores. Sin embargo, en la práctica, algunas elecciones son mucho más rápidas de calcular a mano: una fila o columna con más entradas cero significa que más de los términos de cofactor se anulan automáticamente, ya que cualquier cosa multiplicada por cero no aporta nada a la suma. Intenta cambiar el selector Expandir A Lo Largo De entre una fila con muchos ceros y una fila llena de números distintos de cero para ver cómo se reduce la aritmética.

Límites y casos extremos

Esta calculadora admite solo matrices 3×3 y 4×4. Para un determinante calculado con un método fijo más una verificación de singular/invertible, consulta la Calculadora de Determinante de Matriz; para la inversa mediante el método de la adjunta (matriz de cofactores), consulta la Calculadora de Matriz Inversa; para matrices más grandes o reducción por filas de Gauss-Jordan, usa la Calculadora de Matrices general.

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Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es la fórmula de expansión por cofactores?+

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ, donde la suma recorre las entradas de una fila elegida i (o, simétricamente, una columna elegida j), y Mᵢⱼ es el determinante del menor que queda después de eliminar esa fila y columna.

¿Qué es un menor?+

Un menor Mᵢⱼ es el determinante de la matriz más pequeña que queda después de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original. Para una matriz 3×3, cada menor es un determinante 2×2; para una matriz 4×4, cada menor es un determinante 3×3.

¿Qué determina el patrón de signos +/−?+

El signo es (−1)^(i+j), que produce un patrón de tablero de ajedrez: + cuando los índices de fila y columna suman un número par, − cuando suman un número impar. El patrón siempre comienza con + en la esquina superior izquierda.

¿Qué fila o columna es mejor para expandir?+

Cualquier fila o columna da el mismo determinante final, pero la que tiene más entradas cero requiere menos aritmética — cada entrada cero hace que todo su término se anule sin necesidad de calcular un menor para ella.

¿Obtengo el mismo determinante sin importar qué fila o columna elija?+

Sí, siempre. Esa es una propiedad fundamental del determinante — la expansión por cofactores a lo largo de cualquier fila o cualquier columna de la misma matriz produce el mismo resultado numérico idéntico.

¿Cómo funciona esto para una matriz 4×4?+

El menor de cada entrada para una matriz 4×4 es una matriz 3×3, por lo que la calculadora calcula el determinante de ese menor 3×3 (recurriendo internamente hasta el caso base 2×2) antes de combinar los cuatro términos de nivel superior en el determinante final 4×4.

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