Calculate the volume and surface area of a torus (donut) from its major and minor radii, or solve backward from a target volume or surface area.
Radii
The major radius (R) is the distance from the center of the torus to the center of the tube; the minor radius (r) is the radius of the tube itself. For a normal (non-self-intersecting) donut, r should be smaller than R.
Try:
Volume
—
Enter the major and minor radii above to see the volume.
—
Surface area
Enter the major and minor radii above to see the torus volume.
Worked steps
Surface area
—
Enter the major and minor radii above to see the surface area.
—
Volume
Enter the major and minor radii above to see the torus surface area.
Worked steps
Solve for the missing radius
Enter a target volume or surface area plus whichever radius you already know, and the calculator solves for the other radius.
Missing radius
—
Enter a target measure and known radius above.
Worked steps
4 min de lectura3 steps6 terms3 examples6 FAQsV = 2π² · R · r²
Un toro tiene dos parámetros libres — el radio mayor R y el radio menor r — y su volumen y área de superficie se derivan directamente de ambos mediante el teorema del centroide de Pappus.
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Paso a paso
Cómo usar esta calculadora
3 pasos▸
1
Ingresa los radios mayor y menor
Escribe el radio mayor (R) — la distancia desde el centro de todo el toro hasta el centro del tubo — y el radio menor (r) — el radio del tubo mismo. Elige una unidad; es solo una etiqueta de visualización, ya que la matemática es independiente de la unidad.
2
Lee el volumen y el área de superficie
La pestaña Volumen comienza con V = 2π²Rr² y muestra el área de superficie como una estadística de apoyo; la pestaña Área de Superficie invierte eso, comenzando con SA = 4π²Rr. Ambas se actualizan al instante cuando cambias R o r.
3
Resuelve en sentido inverso si lo necesitas
Cambia a la pestaña Radios para ir en la dirección opuesta: ingresa un volumen o área de superficie objetivo más cualquier radio que ya conozcas, y la calculadora resuelve para el radio faltante, mostrando los pasos resueltos.
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Referencia
Fórmula y metodología
4 fórmulas▸
Volumen de un toro
V = 2π² · R · r²
R es el radio mayor (centro del toro al centro del tubo), r es el radio menor (radio del tubo). El volumen escala con el cuadrado del radio menor, así que duplicar el grosor del tubo cuadruplica el volumen. Las unidades son cúbicas (por ejemplo, pies cúbicos, centímetros cúbicos).
Área de superficie de un toro
SA = 4π² · R · r
El área total de la superficie exterior del toro. El área de superficie escala linealmente con ambos radios, así que duplicar cualquiera de los dos duplica el área de superficie. Las unidades son cuadradas (por ejemplo, pies cuadrados, centímetros cuadrados).
Resolviendo en sentido inverso
r = √(V ÷ 2π²R) or R = V ÷ (2π²r²) or r = SA ÷ (4π²R) or R = SA ÷ (4π²r)
Cada fórmula directa puede invertirse para recuperar un radio faltante a partir de un volumen o área de superficie objetivo, dado el otro radio. La pestaña Radios de esta calculadora realiza la inversión que coincida con tus datos de entrada.
Teorema del centroide de Pappus
V = A · d, SA = P · d
Ambas fórmulas del toro son un caso especial del teorema de Pappus: barrer una figura (aquí, un círculo de radio r) alrededor de un eje externo produce un volumen igual al área de la figura (A = πr²) multiplicada por la distancia que recorre su centroide en una revolución (d = 2πR). La misma lógica da el área de superficie a partir del perímetro del círculo (P = 2πr).
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Glosario
Términos clave explicados
6 términos▸
ToroUna superficie tridimensional en forma de anillo formada al revolver un círculo alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano que el círculo pero no lo intersecta — el nombre matemático de una forma de dona.
Radio mayorLa distancia (R) desde el centro de todo el toro hasta el centro del tubo — esencialmente, el radio del agujero central de la dona más la mitad del grosor del tubo.
Radio menorEl radio (r) del tubo mismo — qué tan grueso es el anillo de la dona, medido desde el centro de la sección transversal del tubo hasta su borde exterior.
DonaEl nombre cotidiano de un toro — una forma de anillo con un agujero en el medio, cuyo volumen y área de superficie siguen las mismas fórmulas ya sea que estés describiendo un pastelito o una superficie matemática.
RevoluciónEl acto de rotar una figura bidimensional (aquí, un círculo) 360° alrededor de un eje para barrer un sólido tridimensional — el toro se genera al revolver un círculo de radio r alrededor de un eje a una distancia R de su centro.
TuboLa sección transversal circular que, al revolverse alrededor del eje central, forma el anillo del toro. El radio del tubo es el radio menor (r).
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Escenarios
Ejemplos del mundo real
3 ejemplos▸
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Cálculo directo
Radio mayor = 5, radio menor = 2
Radio mayor 5 ftRadio menor 2 ft
Con un radio mayor de 5 ft y un radio menor de 2 ft, el volumen es de unos 394.78 ft³ y el área de superficie es de unos 394.78 ft². Este es el ejemplo predeterminado de la calculadora — una verificación limpia de que ambas fórmulas concuerdan con los valores de referencia estándar para R=5, r=2.
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Resolviendo en sentido inverso desde el volumen
Volumen objetivo = 394.78, radio mayor conocido = 5
Medida objetivo Volumen = 394.78 ft³Radio conocido Radio mayor = 5 ft
Dado un volumen objetivo de 394.78 pies cúbicos y un radio mayor conocido de 5 ft, resolver r = √(V ÷ 2π²R) recupera un radio menor de unos 2.00 ft — el mismo toro que el primer ejemplo, resuelto a la inversa. Este patrón aplica a problemas como dimensionar un tanque o junta en forma de anillo para alcanzar una capacidad requerida.
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Encuadre de dona del mundo real
Una dona con una envergadura de agujero a agujero de 4 pulgadas y un anillo de 1 pulgada de grosor
Radio mayor 2 inRadio menor 1 in
Para un toro del tamaño de una dona con radio mayor 2 in y radio menor 1 in, el volumen resulta en unos 39.48 in³ y el área de superficie en unos 78.96 in². Como r no es menor que R aquí, esta forma en particular se sitúa en el límite de autointersección — un recordatorio de que las donas reales siempre mantienen el radio menor significativamente más pequeño que el radio mayor para evitar un agujero pellizcado o superpuesto.
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Análisis a fondo
Volumen y área de superficie de un toro, y cómo se relacionan con una dona
Un toro tiene dos parámetros libres — el radio mayor R y el radio menor r — y su volumen y área de superficie se derivan directamente de ambos mediante el teorema del centroide de Pappus. Esta calculadora maneja la dirección directa (radios como entrada, volumen y área de superficie como salida) y la dirección inversa (una medida objetivo más un radio conocido, resolviendo para el otro).
Por qué las fórmulas parecen el área y la circunferencia de un círculo, multiplicadas por 2πR
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Un toro se genera al revolver un círculo de radio r alrededor de un eje a una distancia R del centro del círculo. El teorema del centroide de Pappus dice que el volumen resultante es igual al área del círculo (πr²) multiplicada por la distancia que recorre su centroide en una revolución completa (2πR) — dando V = πr² × 2πR = 2π²Rr². El área de superficie funciona de la misma manera usando el perímetro del círculo (2πr) en lugar de su área: SA = 2πr × 2πR = 4π²Rr. Ambas fórmulas son en realidad solo "medida de la figura por distancia de barrido".
El límite de autointersección: cuando r ≥ R
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Un toro estándar en forma de dona requiere que el radio menor sea más pequeño que el radio mayor (r < R) — de lo contrario el tubo tendría que pasar a través del eje central, produciendo un "toro cuerno" pellizcado (r = R) o un "toro huso" que se autointerseca (r > R) en lugar de un anillo normal. Las fórmulas de volumen y área de superficie aún calculan un número en cualquier caso, pero la figura que describen ya no es una dona simple, así que esta calculadora marca la condición cuando ocurre.
Cuándo necesitas resolver en sentido inverso
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La mayoría de los problemas de libro de texto te dan ambos radios y piden el volumen o el área de superficie. Los problemas del mundo real a menudo funcionan al revés: sabes que una pieza en forma de anillo necesita contener cierto volumen, o sabes cuánto material cubre su superficie, y necesitas encontrar la dimensión faltante. Resolver en sentido inverso significa invertir la fórmula directa para el radio que sea desconocido — la pestaña Radios de esta calculadora hace eso automáticamente según qué medida y qué radio conocido selecciones.
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Preguntas
Preguntas frecuentes
6 preguntas▸
¿Cuál es la fórmula del volumen de un toro?+
V = 2π²Rr², donde R es el radio mayor (centro del tubo al centro del toro) y r es el radio menor (radio del tubo). Para R = 5 y r = 2, eso es de unas 394.78 unidades cúbicas.
¿Cuál es la fórmula del área de superficie de un toro?+
SA = 4π²Rr, usando el mismo radio mayor R y radio menor r. Para R = 5 y r = 2, eso es de unas 394.78 unidades cuadradas — coincidentemente igual al volumen en este ejemplo en particular.
¿Cuál es la diferencia entre el radio mayor y el radio menor?+
El radio mayor (R) es la distancia desde el centro de todo el toro hasta el centro del tubo. El radio menor (r) es el radio del tubo mismo — qué tan grueso es el anillo de la dona. R mide el tamaño del anillo; r mide el grosor del material que lo forma.
¿Un toro es lo mismo que una dona?+
Sí — un toro es el nombre matemático de una forma de dona: un anillo formado al revolver un círculo de radio r alrededor de un eje a una distancia R del centro del círculo, siempre que r se mantenga más pequeño que R.
¿Qué unidades usa la calculadora?+
Tanto el radio mayor como el menor usan la unidad lineal que selecciones (pulgadas, pies, yardas, centímetros o metros). El volumen usa automáticamente esa unidad al cubo, y el área de superficie usa automáticamente esa unidad al cuadrado.
¿Cómo se relaciona el teorema de Pappus con estas fórmulas?+
Ambas fórmulas son una aplicación directa del teorema del centroide de Pappus: revolver un círculo de área πr² y perímetro 2πr alrededor de un eje externo a una distancia R barre un volumen de (πr²)(2πR) = 2π²Rr² y un área de superficie de (2πr)(2πR) = 4π²Rr.
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