La fórmula de sección responde una pregunta simple de geometría de coordenadas: dados dos puntos, ¿cuál es la coordenada del punto que divide el segmento entre ellos en una proporción elegida? Generaliza la fórmula del punto medio a cualquier proporción, y viene en dos variantes — división interna y externa.

Cómo funciona la fórmula de sección

Para un segmento de A(x₁, y₁) a B(x₂, y₂), el punto P que divide AB internamente en la proporción m:n (medida desde A hacia B) es P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)). Este es un promedio ponderado de los dos extremos — un n mayor jala el punto hacia A, un m mayor lo jala hacia B. Fijar m = n = 1 da pesos iguales y se reduce exactamente a la fórmula del punto medio, ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).

División interna vs. externa

La división interna coloca el punto en algún lugar entre A y B. La división externa lo coloca fuera del segmento, en la recta extendida más allá de uno de los extremos, y usa una resta en lugar de una suma en la fórmula: P = ((mx₂−nx₁)/(m−n), (my₂−ny₁)/(m−n)). La división externa no está definida siempre que m sea igual a n, ya que el denominador se vuelve cero — geométricamente, una proporción externa igual colocaría el punto infinitamente lejos.

Dónde se usa la fórmula de sección

La fórmula de sección aparece en toda la geometría y la física: al encontrar el centroide de un triángulo (que divide cada mediana en 2:1), al ubicar un punto en una fracción dada a lo largo de una carretera o cable en un mapa, al calcular centros de masa ponderados, y en gráficos por computadora para interpolar un punto a lo largo de una recta. Es una de las fórmulas fundamentales construidas sobre las fórmulas de distancia y punto medio en la geometría de coordenadas.