Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros que cumplen exactamente el teorema de Pitágoras — sin redondeo, sin decimales. Esta calculadora las genera a partir de la fórmula de Euclides, verifica si números que ya tienes forman una, y lista cada terna que contiene un lado dado, usando la misma relación que ha sostenido la geometría del triángulo rectángulo desde la antigüedad.

Por qué (3, 4, 5) es especial

(3, 4, 5) es la terna pitagórica más pequeña y la única formada por tres enteros consecutivos. Debido a que 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², un triángulo con esas longitudes de lado siempre tiene un ángulo de 90° perfecto — por eso los constructores han usado cuerdas y cintas métricas 3-4-5 (y sus múltiplos, como 6-8-10) para escuadrar esquinas durante miles de años, mucho antes de que alguien escribiera el álgebra detrás de ello.

Todo múltiplo de (3, 4, 5) — (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), y así sucesivamente sin fin — es también una terna válida, porque escalar cada lado de un triángulo rectángulo por el mismo factor preserva todos sus ángulos.

La fórmula de Euclides las genera todas

Euclides demostró que toda terna pitagórica primitiva puede generarse a partir de un par de enteros m y n (con m > n > 0, coprimos, y paridad opuesta) mediante a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n². Sustituyendo m = 2, n = 1 se obtiene (3, 4, 5); m = 3, n = 2 da (5, 12, 13); m = 4, n = 1 da (8, 15, 17). Toda terna no primitiva es entonces simplemente un múltiplo entero de una de estas.

Esto es más que una curiosidad — significa que el conjunto infinito de ternas pitagóricas tiene una descripción completa y finita: elige cualquier par (m, n) válido para las ternas primitivas, luego escala por cualquier entero positivo para el resto.

Primitiva vs. no primitiva, y cómo distinguirlas

Una terna es primitiva cuando mcd(a, b, c) = 1 — los tres números no comparten ningún factor común. (5, 12, 13) es primitiva; (10, 24, 26) no lo es, porque dividir cada término entre 2 devuelve (5, 12, 13). Para verificar si una terna que encontraste es primitiva, halla el máximo común divisor de los tres números: si es 1, tienes una terna primitiva; si es k > 1, dividir entre k revela la terna primitiva subyacente.

Esta distinción importa al listar cada terna que contiene un lado dado: la lista completa siempre se divide en un puñado de ternas primitivas más sus múltiplos escalados, y la pestaña Listar por Lado de esta calculadora etiqueta cada resultado en consecuencia.