Un sistema de ecuaciones lineales te pide encontrar valores de las variables que hagan verdadera cada ecuación a la vez. Esta calculadora resuelve sistemas 2×2 y 3×3 de forma exacta — como fracciones, no decimales redondeados — y muestra el trabajo de dos formas complementarias: la Regla de Cramer con determinantes, y la eliminación gaussiana. También detecta los dos casos incómodos que confunden a los estudiantes: sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones.
Tres formas de resolver un sistema
Sustitución resuelve una ecuación para una sola variable y sustituye esa expresión en las demás — rápido cuando un coeficiente ya es 1. Eliminación (el método gaussiano) suma un múltiplo de una ecuación a otra para que una variable se cancele, y luego sustituye hacia atrás; escala limpiamente a sistemas grandes y es lo que usan las computadoras. La Regla de Cramer expresa cada incógnita como una razón de determinantes — elegante y excelente para mostrar por qué existe una solución, aunque se vuelve lenta más allá de 3×3. Las tres dan la misma respuesta; esta herramienta muestra la eliminación y Cramer lado a lado para que conectes el álgebra con los determinantes.
Lo que te dice el determinante
El determinante de coeficientes D es el número más informativo de todo el problema. Si D ≠ 0, el sistema tiene exactamente una solución y la Regla de Cramer la entrega directamente. Si D = 0, las ecuaciones no son independientes y caes en uno de dos casos especiales. Geométricamente, dos ecuaciones en x e y son dos líneas: un determinante distinto de cero significa que se cruzan una vez; un determinante cero significa que son la misma línea (infinitas soluciones) o paralelas (ninguna). En tres variables aplica la misma lógica a los planos.
Sin solución vs. infinitas soluciones
Cuando D = 0 todavía necesitas saber cuál caso degenerado tienes. La prueba consiste en comparar el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz aumentada (coeficientes más la columna de constantes). Si añadir las constantes eleva el rango, las ecuaciones se contradicen entre sí y no hay solución — piensa en líneas paralelas. Si los rangos son iguales, las ecuaciones son dependientes y hay infinitas soluciones — la misma línea o plano descrito dos veces. Esta calculadora ejecuta automáticamente esa comparación de rangos y etiqueta el resultado, así que nunca tienes que adivinar.
Por qué importan las fracciones exactas
Los sistemas lineales producen frecuentemente decimales no terminantes — x = 7/3 es exacto, pero 2.333… no lo es. Redondear demasiado pronto puede ocultar la estructura y acumular error, especialmente al sustituir hacia atrás. Esta calculadora mantiene cada valor como un racional exacto usando aritmética de enteros grandes, así que 7/3 se mantiene como 7/3. Debajo de cada fracción también se muestra un decimal redondeado para una lectura rápida, pero la fracción es la fuente de verdad.