Las sucesiones y series son los bloques fundamentales del pensamiento cuantitativo. Una sucesión aritmética suma un paso fijo cada vez; una sucesión geométrica multiplica por una razón fija. Entender la diferencia — y saber calcular cualquier término o suma parcial al instante — es útil en todas partes, desde las finanzas personales hasta la física.
¿Aritmética o Geométrica? ¿Qué Patrón Tienes?
La forma más rápida de clasificar una sucesión es revisar las diferencias entre términos consecutivos. Si las diferencias son todas iguales (p. ej. 3, 7, 11, 15 — diferencia de 4 cada vez), es aritmética. Si las razones son todas iguales (p. ej. 2, 6, 18, 54 — razón de 3 cada vez), es geométrica. El modo Personalizada de la calculadora detecta estos patrones automáticamente por ti.
Ejemplos reales de sucesiones aritméticas incluyen los aumentos salariales anuales, la depreciación lineal y las citas espaciadas de forma uniforme. Las sucesiones geométricas aparecen en el interés compuesto, el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y la atenuación de señales — en cualquier lugar donde un cambio porcentual se repita cada periodo.
¿Cuándo Converge una Serie Geométrica?
Una serie geométrica converge — es decir, sus sumas parciales se estabilizan hacia un único número finito — si y solo si el valor absoluto de la razón común es menor que 1 (|r| < 1). El valor límite es S∞ = a₁ / (1 − r). Por ejemplo, la serie 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … (r = 0.5) converge exactamente a 2.
Cuando |r| ≥ 1 los términos o bien se mantienen constantes (r = 1), o alternan de signo sin reducirse (r = −1), o crecen sin límite (|r| > 1). En los tres casos la serie diverge — no existe una suma finita al infinito. La calculadora lo señala con una insignia de Diverge y oculta el campo S∞.
La Sucesión de Fibonacci y la Razón Áurea
Los números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …) no son ni aritméticos ni geométricos, y sin embargo aparecen por toda la naturaleza — en las espirales de las semillas de girasol, las conchas de nautilo y los árboles ramificados. La razón entre términos consecutivos de Fibonacci (p. ej. 21/13 ≈ 1.615) converge a la razón áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 cuando n → ∞.
Sus usos prácticos incluyen el análisis de algoritmos (montículos de Fibonacci, complejidad del Fibonacci recursivo) y el trading financiero (niveles de retroceso de Fibonacci). Esta calculadora muestra cualquier término de Fibonacci hasta F₇₈ — más allá, la precisión de punto flotante de JavaScript no puede representar el entero con exactitud.