Los primos son los bloques de construcción de los números enteros: todo entero mayor que 1 es primo o un producto único de primos. Esta calculadora prueba la primalidad, factoriza números y lista primos en un rango — y lo hace incluso para números demasiado grandes para una hoja de cálculo, usando la misma prueba de Miller-Rabin que sustenta la criptografía moderna.
Qué hace que un número sea primo
Un número primo tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Esa definición descarta el 1 (que tiene solo un divisor) y el 0 (que es divisible entre todo), así que el primo más pequeño es 2 — y es el único primo par, porque todo otro número par es divisible entre 2.
Para verificar un número a mano solo necesitas probar divisores hasta su raíz cuadrada. Si ningún número entero de 2 a √n divide a n, entonces n es primo. Por eso 97 solo necesita cuatro divisiones de prueba (2, 3, 5, 7) en lugar de noventa y cinco.
Factorización y la criba
El teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo entero mayor que 1 se factoriza en primos de exactamente una manera. La factorización prima impulsa todo, desde simplificar fracciones hasta encontrar mínimos comunes múltiplos. Esta herramienta usa división de prueba para desprender repetidamente el factor primo más pequeño hasta que solo queda 1.
Para encontrar todos los primos en un rango, el método clásico más rápido es la criba de Eratóstenes: lista los números, luego tacha los múltiplos de 2, luego los de 3, luego los de 5, y así sucesivamente. Lo que sobrevive es primo. Una criba segmentada aplica la misma idea solo a la ventana que pidas, lo que la mantiene rápida incluso a través de millones de números.
Números grandes y criptografía
La división de prueba es inútil una vez que los números se vuelven grandes — probar un número de 60 dígitos tomaría más tiempo que la edad del universo. En cambio, esta calculadora cambia a la prueba de Miller-Rabin, que usa exponenciación modular para decidir la primalidad en una fracción de segundo. Con un conjunto fijo de bases testigo la prueba es demostrablemente exacta para todo número por debajo de 3.3 × 10²⁴.
Esto importa porque los primos grandes son la base de la criptografía de clave pública. El cifrado RSA multiplica dos primos enormes juntos para formar una clave pública; su seguridad descansa en que factorizar el producto de vuelta a esos primos es extraordinariamente difícil, aunque probar si un candidato es primo es fácil. La asimetría entre la prueba rápida de primalidad y la factorización lenta es exactamente lo que mantiene seguro el tráfico cifrado.