La descomposición en fracciones parciales toma una única expresión racional y la divide en una suma de fracciones más simples — el proceso inverso de encontrar un denominador común. Aparece constantemente en cálculo (integración de funciones racionales), ecuaciones diferenciales (transformadas inversas de Laplace) y teoría de control. Esta calculadora maneja los tres casos que cubre todo curso introductorio: factores lineales distintos, un factor lineal repetido y un factor lineal emparejado con un cuadrático irreducible.
Por qué descomponer una fracción
Algunas operaciones son fáciles sobre una suma de fracciones simples pero difíciles sobre una fracción complicada. Integrar 1/(x − 1) es una regla logarítmica de una sola línea; integrar (3x + 5)/[(x + 1)(x + 2)] directamente no es obvio hasta que se reescribe como 2/(x + 1) + 1/(x + 2), momento en el que son dos integrales logarítmicas sencillas sumadas. El mismo truco simplifica las transformadas inversas de Laplace y el trabajo con derivadas parciales en cursos de ingeniería.
El método de tapado para raíces distintas
Cuando cada factor del denominador es un término lineal (x − r) diferente, cada uno recibe exactamente una constante desconocida. La forma más rápida de encontrarla es el método de tapado (Heaviside): multiplica toda la ecuación por ese único factor, lo que lo cancela en el lado izquierdo y convierte cada otro término del lado derecho en cero en el momento en que sustituyes x por la raíz de ese factor. Lo que queda es la constante, calculada directamente — sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones.
Los factores repetidos e irreducibles cuadráticos necesitan más términos
Un factor repetido (x − r)^k no recibe un solo término — necesita un término separado por cada potencia desde 1 hasta k, porque una única constante sobre (x − r)^k no puede reproducir cada posible grado de numerador por debajo de k. De manera similar, un factor cuadrático irreducible (sin raíces reales) necesita un numerador lineal, Bx + C, en lugar de una constante simple, ya que una constante sola no puede igualar un numerador que varía con x. Si te equivocas en la forma de los términos, ningún conjunto de constantes hará que la descomposición sea igual a la expresión original.
Cómo comprobar tu trabajo
La forma más segura de detectar un error aritmético es invertir el proceso: multiplicar la descomposición de nuevo sobre el denominador común y confirmar que el numerador coincide con el que se tenía al principio. La pestaña Verificar de esta calculadora hace exactamente eso — tanto simbólicamente (recombinando los términos en un único polinomio) como numéricamente (evaluando la expresión original y la descomposición en el mismo valor de x y comparando los resultados).