How do you find the determinant of a 2×2 matrix?

For A = [[a, b], [c, d]], det(A) = ad − bc — multiply the two diagonal entries together, then subtract the product of the two off-diagonal entries.

How do you find the determinant of a 3×3 matrix?

Expand along a row using cofactor (Laplace) expansion: multiply each entry in the row by the determinant of the 2×2 minor left after deleting that entry's row and column, alternate the signs (+, −, +), and add the three results together.

What does det(A) = 0 mean?

The matrix is singular — its rows or columns are linearly dependent. A singular matrix has no inverse, and any linear system it represents has either no solution or infinitely many.

What does it mean for a matrix to be invertible?

A matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero. Invertible matrices have a unique inverse A⁻¹ such that multiplying A by A⁻¹ produces the identity matrix.

What's the sign rule in cofactor expansion?

Signs alternate in a checkerboard pattern: the cofactor for position (row i, column j) carries sign (−1)^(i+j). Expanding along row 1 gives the familiar +, −, +, − sequence across the columns.

Does this calculator show the steps?

Yes — the Steps tab shows the full cofactor-expansion breakdown for whatever matrix you entered on the Determinant tab, including each signed term and its minor matrix for 3×3 and 4×4 sizes.

Calculadora de Determinante de Matriz — 2×2, 3×3, 4×4

Determinant value and whether the matrix is invertible or singular
Determinant	Result
det(A) ≠ 0	Invertible — the matrix has an inverse
det(A) = 0	Singular — no inverse exists

📋

Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

5 pasos

1

Elige un tamaño de matriz

Selecciona 2×2, 3×3 o 4×4 en el selector de tamaño de la pestaña Determinante. La cuadrícula de entrada se reconstruye al instante para coincidir, y cualquier valor que siga encajando en el nuevo tamaño se conserva.

2

Introduce los valores de la matriz

Escribe un número en cada celda de la cuadrícula, fila por fila. Los números negativos y los decimales funcionan bien — el determinante se recalcula con cada pulsación, sin necesidad de un botón de Calcular.

3

Lee el determinante

La tarjeta de resultado muestra det(A) en cuanto se rellena cada celda, junto con una línea en lenguaje sencillo sobre si la matriz es invertible o singular.

4

Abre la pestaña Pasos

Cambia a Pasos para ver el desglose completo de la expansión por cofactores — para una 2×2 es la aritmética directa ad − bc; para 3×3 y 4×4 es cada término con signo de la expansión a lo largo de la fila 1, con su matriz menor mostrada.

5

Comprueba la invertibilidad, o prueba un preajuste

La pestaña Comprobación de Singularidad reformula el mismo determinante frente a la regla det = 0. Usa los chips de preajuste (2×2, 3×3, una 3×3 singular, 4×4 y una matriz identidad) para ver cada caso resuelto sin escribir nada.

⚡

Referencia

Fórmula y metodología

3 fórmulas

Expansión por cofactores (Laplace)

det(A) = Σ (−1)^(1+j) · a₁ⱼ · det(M₁ⱼ), para j = 1 a n

El determinante de una matriz n×n se calcula expandiendo a lo largo de una fila (aquí, la fila 1): multiplica cada entrada de esa fila por el determinante de su menor — la matriz más pequeña que queda tras eliminar la fila y la columna de esa entrada — y suma los resultados con signos alternos. Esta calculadora aplica la regla de forma recursiva, así que la misma fórmula cubre matrices 2×2, 3×3 y 4×4.

Caso especial 2×2

det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc

Para una matriz 2×2, la expansión por cofactores se reduce a esta única resta — es el caso base al que finalmente se expande cualquier determinante más grande.

Patrón de signos

sign(i, j) = (−1)^(i+j)

Los signos de los cofactores alternan en un patrón de tablero de ajedrez que empieza con + en la esquina superior izquierda: +, −, +, − a lo largo de la fila 1. Esta calculadora siempre expande a lo largo de la fila 1, así que los signos usados son +, −, +, − (hasta 4 columnas).

📖

Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Determinante Un único número calculado a partir de una matriz cuadrada que resume cómo la matriz escala el área (2×2), el volumen (3×3) o el hipervolumen (4×4). Se escribe det(A) o |A|. Un determinante de cero significa que la matriz colapsa el espacio en una dimensión menor.

Cofactor Un menor con signo: el determinante de la matriz que queda tras eliminar una fila y una columna, multiplicado por (−1) elevado a la suma de la posición de esa fila y columna. La expansión por cofactores suma una entrada por su cofactor a lo largo de una fila o columna.

Menor La matriz (n−1)×(n−1) más pequeña que queda tras eliminar una fila y una columna de una matriz n×n. Cada cofactor se construye a partir del determinante de un menor.

Matriz singular Una matriz cuadrada cuyo determinante es exactamente 0. Las matrices singulares no tienen inversa, y el sistema lineal que representan no tiene solución o tiene infinitas.

Matriz invertible Una matriz cuadrada con determinante distinto de cero. Las matrices invertibles tienen una única inversa A⁻¹ tal que A · A⁻¹ es igual a la matriz identidad.

Expansión de Laplace Otro nombre para la expansión por cofactores — el método general (atribuido a Pierre-Simon Laplace) para calcular el determinante de cualquier tamaño expandiendo a lo largo de una fila o columna elegida.

Matriz Una cuadrícula rectangular de números. Esta calculadora solo maneja matrices cuadradas (igual número de filas y columnas), ya que los determinantes solo están definidos para matrices cuadradas.

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

🔢

2×2 a mano

A = [[4, 3], [6, 3]]

Size 2×2 Matrix [4, 3, 6, 3]

det(A) = ad − bc = (4)(3) − (3)(6) = 12 − 18 = −6. El determinante es distinto de cero, así que esta matriz es invertible — sus filas apuntan en direcciones genuinamente diferentes en lugar de colapsar sobre la misma línea.

🧮

Recorrido de cofactores en una 3×3

A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

Size 3×3 Matrix [1, 2, 3, 0, 1, 4, 5, 6, 0]

Expandiendo a lo largo de la fila 1: +1·det([1,4;6,0]) − 2·det([0,4;5,0]) + 3·det([0,1;5,6]) = 1(0−24) − 2(0−20) + 3(0−5) = −24 + 40 − 15 = 1. det(A) = 1, así que la matriz es invertible.

⚠️

Matriz singular

A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 5, 7]]

Size 3×3 Matrix [1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 5, 7]

La fila 2 es exactamente el doble de la fila 1 — las filas son linealmente dependientes, así que el determinante da exactamente 0. Esta matriz es singular: no tiene inversa, y un sistema lineal construido a partir de ella no tiene solución o tiene infinitas.

📄

Análisis a fondo

Entendiendo la Calculadora de Determinante de Matriz

3 capítulos · 4 min de lectura

Un determinante condensa una matriz cuadrada entera en un único número, y ese número responde a una de las preguntas más útiles del álgebra lineal: ¿tiene inversa esta matriz? Esta calculadora recorre el método de expansión por cofactores usado para calcular un determinante a mano para una matriz 2×2, 3×3 o 4×4, mostrando cada término con signo a lo largo del camino.

Cómo funciona la expansión por cofactores

La expansión por cofactores (Laplace) calcula un determinante eligiendo una fila — esta calculadora siempre usa la fila 1 — y, para cada entrada de esa fila, multiplicándola por el determinante de su menor (la matriz que queda tras eliminar la fila y la columna de esa entrada), con signos alternos que empiezan en +. Para una matriz 2×2, el proceso se reduce a la fórmula única ad − bc. Para 3×3, cada una de las tres entradas de la fila 1 se multiplica por el determinante de su menor 2×2. Para 4×4, cada una de las cuatro entradas se multiplica por el determinante de su menor 3×3, que la calculadora calcula directamente. Sumar los términos con signo da el determinante final.

Qué significa un determinante cero

Un determinante de exactamente 0 significa que la matriz es singular: sus filas (o columnas) son linealmente dependientes — una fila puede escribirse como combinación de las demás, así que la matriz aplasta el espacio en una dimensión menor en lugar de estirarlo en una forma n-dimensional completa. Las matrices singulares no tienen inversa, y si la matriz representa un sistema de ecuaciones lineales, ese sistema no tiene solución o tiene infinitas. Cualquier determinante distinto de cero, en cambio, significa que la matriz es invertible — existe una única inversa A⁻¹ tal que A · A⁻¹ da la matriz identidad.

Cómo leer el patrón de signos

Los signos alternos + y − en la expansión por cofactores siguen un patrón de tablero de ajedrez: el signo del cofactor para la fila i, columna j es (−1) elevado a la potencia (i + j). Como esta calculadora siempre expande a lo largo de la fila 1 (i = 1), los signos simplemente alternan +, −, +, − a lo largo de las columnas. Ese patrón es la razón por la que el término del medio de una expansión 3×3 siempre se resta mientras que el primero y el tercero se suman — no es arbitrario, surge directamente de la regla (−1)^(i+j).

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cómo se encuentra el determinante de una matriz 2×2?+

Para A = [[a, b], [c, d]], det(A) = ad − bc — multiplica las dos entradas diagonales entre sí, luego resta el producto de las dos entradas fuera de la diagonal.

¿Cómo se encuentra el determinante de una matriz 3×3?+

Expande a lo largo de una fila usando la expansión por cofactores (Laplace): multiplica cada entrada de la fila por el determinante del menor 2×2 que queda tras eliminar la fila y la columna de esa entrada, alterna los signos (+, −, +) y suma los tres resultados.

¿Qué significa det(A) = 0?+

La matriz es singular — sus filas o columnas son linealmente dependientes. Una matriz singular no tiene inversa, y cualquier sistema lineal que represente no tiene solución o tiene infinitas.

¿Qué significa que una matriz sea invertible?+

Una matriz es invertible exactamente cuando su determinante es distinto de cero. Las matrices invertibles tienen una única inversa A⁻¹ tal que multiplicar A por A⁻¹ produce la matriz identidad.

¿Cuál es la regla de signos en la expansión por cofactores?+

Los signos alternan en un patrón de tablero de ajedrez: el cofactor para la posición (fila i, columna j) lleva el signo (−1)^(i+j). Expandir a lo largo de la fila 1 da la secuencia familiar +, −, +, − a lo largo de las columnas.

¿Muestra esta calculadora los pasos?+

Sí — la pestaña Pasos muestra el desglose completo de la expansión por cofactores para la matriz que introdujiste en la pestaña Determinante, incluyendo cada término con signo y su matriz menor para los tamaños 3×3 y 4×4.

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Calculadora de Determinante de Matriz

Matrix

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Cofactor expansion

det(A)

Invertible or singular?

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