El factorial de n, escrito n!, es el producto de todo número entero desde 1 hasta n, y cuenta de cuántas formas puedes ordenar n objetos distintos. Es una de las ideas más útiles en el conteo (combinatoria) y aparece por todas partes, desde la probabilidad hasta los algoritmos. Esta calculadora computa n! de forma exacta para números grandes, y se extiende a permutaciones, combinaciones y el factorial doble.
Qué significa un factorial
n! responde una pregunta simple: ¿en cuántos órdenes distintos puedes arreglar n elementos diferentes? Con 3 libros hay 3! = 6 órdenes; con 5 hay 120; con 10 hay más de 3,6 millones. El razonamiento es el principio de multiplicación: tienes n opciones para la primera posición, n-1 para la segunda, y así hasta 1. Multiplícalas juntas y obtienes n!. Como cada elemento adicional multiplica el conteo por un número mayor, los factoriales crecen más rápido que cualquier exponencial.
Por qué 0! = 1
Parece extraño que el factorial de cero sea uno y no cero. Hay dos buenas razones. Primero, hay exactamente una forma de arreglar un conjunto vacío — el arreglo vacío — así que el conteo debería ser 1. Segundo, definir 0! = 1 mantiene funcionando la fórmula de combinaciones nCr = n! / (r!(n-r)!) en los extremos: elegir 0 elementos entre n, o todos los n elementos, deberían dar exactamente 1 forma, y eso solo resulta correcto cuando 0! = 1. Los matemáticos llaman a esto un producto vacío, y un producto vacío siempre es 1.
Permutaciones frente a combinaciones
Ambas eligen r elementos de un conjunto de n, pero difieren en si el orden importa. Una permutación (nPr = n!/(n-r)!) trata ABC y CBA como diferentes — úsala para posiciones de llegada en una carrera, o códigos PIN. Una combinación (nCr = n!/(r!(n-r)!)) las trata como iguales — úsala para números de lotería, manos de póker, o un comité donde los asientos no están etiquetados. Como toda combinación se puede reordenar de r! formas, nPr siempre es r! veces nCr, así que las permutaciones nunca son menos que las combinaciones.
Factoriales dobles y n muy grande
El factorial doble n!! multiplica cada otro término: 9!! = 9 x 7 x 5 x 3 x 1 = 945. Aparece en fórmulas para volúmenes de esferas y ciertas integrales. Para n muy grande el factorial exacto tiene miles de dígitos, así que esta herramienta también reporta la aproximación de Stirling — ln(n!) ~= n ln n - n + 0,5 ln(2 pi n) — que da el conteo de dígitos y el orden de magnitud. Aun así, los dígitos exactos se calculan con enteros de precisión arbitraria, así que nada se redondea.