What is the exponential growth formula?

final = initial × (1 + r)^t, where initial is the starting value, r is the growth rate per period expressed as a decimal (5% = 0.05), and t is the number of elapsed periods. Decay uses the same formula with (1 − r) in place of (1 + r).

What's the difference between this and continuous growth?

This calculator uses the discrete model, which compounds once per period: final = initial × (1 + r)^t. Continuous growth compounds constantly using final = initial × e^(kt), where k is a continuous rate. A continuous rate k converts to an equivalent discrete per-period rate of e^k − 1 — the two describe the same process at different compounding frequencies and give nearly identical results for small rates.

How do you calculate doubling time?

Doubling time = ln(2) / ln(1 + r), where r is the growth rate per period as a decimal. It answers "how many periods until this value is exactly twice as large," and — importantly — the answer does not depend on the starting value, only on the rate.

What is the exponential decay formula?

final = initial × (1 − r)^t, where r is the decay rate per period as a decimal (must be between 0 and 1). Each period the quantity retains (1 − r) of its previous value. The corresponding half-life formula is ln(2) / ln(1 / (1 − r)).

How do I solve for the time instead of the final value?

Take the natural logarithm of the ratio between the final and initial values, then divide by the natural logarithm of the growth base (1 + r) or decay base (1 − r): t = ln(final / initial) / ln(1 ± r). Use the "Solve for Time" option on the Growth or Decay tab to have this computed automatically from your initial value, final value, and rate.

What units does this calculator use?

None are enforced — the initial and final values can represent dollars, population counts, cell counts, radioactive atoms, or anything else that changes by a percentage each period. Time is measured in "periods," which you define: years, months, days, generations, or half-lives, as long as the rate you enter matches that same period length.

Calculadora de Crecimiento Exponencial — Crecimiento, Decaimiento y Vida Media

📋

Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

3 pasos

1

Elige Crecimiento, Decaimiento o Duplicación/Vida Media

Usa la pestaña Crecimiento cuando un valor aumenta cada periodo (población, ahorros, usuarios). Usa la pestaña Decaimiento cuando un valor se reduce por un porcentaje cada periodo (decaimiento radiactivo, depreciación, eliminación de un fármaco). Usa la pestaña Duplicación/Vida Media cuando solo te interesa cuánto tarda una tasa en duplicar o reducir a la mitad una cantidad — no se necesita un valor inicial para esa respuesta.

2

Elige qué quieres resolver

En las pestañas Crecimiento y Decaimiento, el interruptor "Resolver para" te permite calcular el valor final a partir de una tasa y un tiempo conocidos, obtener la tasa a partir de un valor inicial y final conocidos, u obtener el tiempo transcurrido a partir de una tasa conocida. El campo que estás resolviendo desaparece de la lista de entradas — completa los otros dos junto con el valor inicial.

3

Lee el resultado y la curva

El titular muestra el valor resuelto con una explicación en lenguaje sencillo debajo, junto con el tiempo de duplicación o la vida media y el cambio porcentual total. El gráfico traza el valor a lo largo del tiempo para que veas la forma de la curva. Usa Compartir para copiar un enlace a este escenario exacto, o CSV para exportar el desglose.

⚡

Referencia

Fórmula y metodología

3 fórmulas

Crecimiento exponencial

final = initial × (1 + r)^t

El valor inicial se multiplica por uno más la tasa de crecimiento (en forma decimal), elevado a la potencia del número de periodos transcurridos. Cada periodo se compone sobre el resultado del periodo anterior, lo que hace que la curva se acelere en lugar de crecer en línea recta.

Decaimiento exponencial

final = initial × (1 − r)^t

Idéntico en forma al crecimiento, pero el multiplicador es uno menos la tasa de decaimiento. En cada periodo la cantidad conserva solo (1 − r) de lo que tenía, por lo que se aproxima — pero matemáticamente nunca llega — a cero. La tasa debe estar entre 0% y 100% por periodo.

Tiempo de duplicación y vida media

doubling time = ln(2) / ln(1 + r); half-life = ln(2) / ln(1 / (1 − r))

Ambas fórmulas provienen de establecer final = 2 × initial (crecimiento) o final = 0,5 × initial (decaimiento) y resolver para t. Ninguna fórmula depende del valor inicial — una tasa tiene un único tiempo de duplicación o vida media sin importar si la cantidad inicial es 10 o 10 millones.

📖

Glosario

Términos clave explicados

7 términos

Crecimiento exponencial Un patrón en el que una cantidad aumenta un porcentaje constante de su valor actual en cada periodo, de modo que el incremento absoluto se hace mayor cada periodo aunque la tasa se mantenga igual.

Decaimiento exponencial Un patrón en el que una cantidad disminuye un porcentaje constante de su valor actual en cada periodo. La disminución absoluta se reduce con el tiempo aunque la tasa porcentual permanezca fija, por lo que la cantidad se aproxima a cero sin llegar a alcanzarlo matemáticamente.

Tasa de crecimiento El cambio porcentual aplicado al valor actual en cada periodo — la r en (1 + r)^t. Una tasa de crecimiento del 5% significa que el valor se multiplica por 1,05 cada periodo.

Tiempo de duplicación El número de periodos que tarda una cantidad en crecimiento en duplicarse exactamente respecto a su valor inicial, a una tasa fija. Es igual a ln(2) dividido entre ln(1 + r), e independiente de la cantidad inicial.

Vida media El número de periodos que tarda una cantidad en decaimiento en reducirse exactamente a la mitad de su valor inicial, a una tasa fija. Es el mismo concepto que el tiempo de duplicación, aplicado a cantidades que disminuyen en vez de crecer.

Crecimiento continuo vs. discreto El crecimiento discreto se compone en intervalos fijos — una vez por periodo — usando (1 + r)^t. El crecimiento continuo se compone constantemente usando a·e^(kt), donde k es la tasa de crecimiento continuo. Ambos describen el mismo proceso subyacente a distintas frecuencias de composición; a medida que el número de periodos de composición por unidad de tiempo crece mucho, la fórmula discreta converge hacia la continua.

Base (del exponencial) El número que se eleva a la potencia del tiempo — (1 + r) para crecimiento o (1 − r) para decaimiento. Una base mayor que 1 produce crecimiento; una base entre 0 y 1 produce decaimiento hacia cero.

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

📈

Analista modelando crecimiento constante

Una cantidad de 1.000 crece a un 5% por periodo durante 10 periodos

Tab Crecimiento — resolver para Valor final Initial value 1.000 Growth rate 5% Time 10 periodos

1.000 × 1,05^10 ≈ 1.628,89 — un aumento total de aproximadamente 62,9%. A 5% por periodo, el tiempo de duplicación es de aproximadamente 14,2 periodos, por lo que este recorrido de 10 periodos cubre aproximadamente el 70% de una duplicación completa.

☢️

Estudiante calculando una vida media

Una muestra radiactiva decae a un 5% por periodo — ¿cuánto tarda en quedar la mitad?

Tab Duplicación / Vida Media — Decaimiento Rate 5% por periodo

Vida media = ln(2) / ln(1 / 0,95) ≈ 13,51 periodos. Nota que esto es más corto que los 14,2 periodos de duplicación para la misma tasa del 5% — decaer a la mitad toma un poco menos de tiempo que duplicarse, porque la base de decaimiento (0,95) está más cerca de un cambio de factor 2 que la base de crecimiento (1,05).

🦠

Estudiante de biología estimando generaciones

Un cultivo crece a un 25% por periodo — ¿cuántos periodos hasta que se duplique?

Tab Duplicación / Vida Media — Crecimiento Rate 25% por periodo

Tiempo de duplicación = ln(2) / ln(1,25) ≈ 3,11 periodos. El tiempo de duplicación se reduce rápidamente a medida que la tasa aumenta — por eso pequeñas diferencias en la tasa de crecimiento (por ejemplo, 5% frente a 25%) se acumulan en enormes diferencias de resultado a lo largo de muchos periodos.

📄

Análisis a fondo

Cómo Entender el Crecimiento y Decaimiento Exponencial

4 capítulos · 6 min de lectura

El crecimiento y el decaimiento exponencial describen todo lo que cambia por un porcentaje fijo en cada periodo en lugar de por una cantidad fija — ahorros que se componen, poblaciones que se expanden, isótopos radiactivos que decaen, fármacos que se eliminan del torrente sanguíneo. Las matemáticas son idénticas en todos estos casos; solo cambian el signo de la tasa y la etiqueta del eje. Esta calculadora cubre las tres preguntas que la gente realmente hace: en qué se convertirá el valor, qué tasa me trajo hasta aquí, y cuánto tarda una tasa en duplicar o reducir a la mitad una cantidad.

Por qué las curvas exponenciales parecen engañosas

Una cantidad que crece a una tasa porcentual constante se ve casi plana al principio y luego sube abruptamente — el clásico "palo de hockey". Esto ocurre porque el incremento de cada periodo es un porcentaje de una base cada vez mayor: crecer un 5% sobre 1.000 añade 50, pero crecer un 5% sobre 10.000 añade 500. La tasa nunca cambia, pero el incremento absoluto se acumula. Por eso la intuición lineal ("solo creció un poco los primeros periodos, así que se mantendrá pequeño") subestima sistemáticamente los procesos exponenciales — las pandemias, el interés compuesto y el crecimiento viral son los ejemplos de manual.

Resolver la tasa o el tiempo en lugar del valor final

La mayoría de las veces la pregunta no es "¿en qué se convertirá esto?" sino "¿qué tasa me llevó de A a B?" o "¿cuánto falta para llegar a B?". Ambas se resuelven con logaritmos. Para encontrar la tasa: divide el valor final entre el valor inicial, saca la raíz t-ésima (eleva a la potencia 1/t) y resta 1. Para encontrar el tiempo: toma el logaritmo natural del cociente (final ÷ inicial) y divídelo entre el logaritmo natural de la base de crecimiento (1 + r) o de decaimiento (1 − r). El interruptor "Resolver para" de esta calculadora ejecuta estas fórmulas automáticamente, pero conocer la forma del cálculo facilita comprobar la respuesta con sentido común — una tasa resuelta a partir de un valor final menor que el inicial debería salir negativa (o estás en la pestaña equivocada).

El tiempo de duplicación y la vida media son números que dependen solo de la tasa

Uno de los hechos más útiles sobre los procesos exponenciales es que el tiempo de duplicación y la vida media dependen únicamente de la tasa — no de la cantidad inicial. Una población de 100 que crece a un 7% por periodo se duplica en los mismos 10,2 periodos que una población de 10 millones que crece al 7%. Esto es lo que hace funcionar el atajo mental de la "Regla del 70" (70 ÷ tasa% ≈ tiempo de duplicación) y por qué el tiempo de duplicación es el número que citan epidemiólogos, demógrafos y planificadores financieros en lugar de la tasa de crecimiento en bruto — traduce un porcentaje abstracto en un plazo concreto y comparable.

Composición discreta vs. continua

Esta calculadora usa el modelo discreto, final = initial × (1 + r)^t, que se compone una vez por periodo — apropiado para tasas de crecimiento anuales, conteos de generaciones o cualquier proceso medido en pasos enteros. El crecimiento continuo, final = initial × e^(kt), en cambio se compone constantemente (como si el periodo fuera infinitesimalmente corto). Ambos están relacionados: una tasa continua k corresponde a una tasa discreta por periodo de e^k − 1. Para la mayoría de los modelos del mundo real, la forma discreta es más simple y coincide con cómo se suelen reportar las tasas ("crece un 5% al año"), así que empieza por ahí a menos que una fuente te dé específicamente una constante de tasa continua.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es la fórmula de crecimiento exponencial?+

final = initial × (1 + r)^t, donde initial es el valor inicial, r es la tasa de crecimiento por periodo expresada como decimal (5% = 0,05), y t es el número de periodos transcurridos. El decaimiento usa la misma fórmula con (1 − r) en lugar de (1 + r).

¿Cuál es la diferencia entre esto y el crecimiento continuo?+

Esta calculadora usa el modelo discreto, que se compone una vez por periodo: final = initial × (1 + r)^t. El crecimiento continuo se compone constantemente usando final = initial × e^(kt), donde k es una tasa continua. Una tasa continua k se convierte en una tasa discreta equivalente por periodo de e^k − 1 — ambas describen el mismo proceso a distintas frecuencias de composición y dan resultados casi idénticos para tasas pequeñas.

¿Cómo se calcula el tiempo de duplicación?+

Tiempo de duplicación = ln(2) / ln(1 + r), donde r es la tasa de crecimiento por periodo como decimal. Responde a "cuántos periodos hasta que este valor sea exactamente el doble de grande" y — cosa importante — la respuesta no depende del valor inicial, solo de la tasa.

¿Cuál es la fórmula de decaimiento exponencial?+

final = initial × (1 − r)^t, donde r es la tasa de decaimiento por periodo como decimal (debe estar entre 0 y 1). Cada periodo la cantidad conserva (1 − r) de su valor anterior. La fórmula de vida media correspondiente es ln(2) / ln(1 / (1 − r)).

¿Cómo resuelvo el tiempo en lugar del valor final?+

Toma el logaritmo natural del cociente entre el valor final y el inicial, luego divídelo entre el logaritmo natural de la base de crecimiento (1 + r) o de decaimiento (1 − r): t = ln(final / initial) / ln(1 ± r). Usa la opción "Resolver para Tiempo" en la pestaña de Crecimiento o Decaimiento para que esto se calcule automáticamente a partir de tu valor inicial, valor final y tasa.

¿Qué unidades usa esta calculadora?+

No se impone ninguna — el valor inicial y final pueden representar dólares, cantidades de población, conteos de células, átomos radiactivos, o cualquier otra cosa que cambie un porcentaje en cada periodo. El tiempo se mide en "periodos", que tú defines: años, meses, días, generaciones o vidas medias, siempre que la tasa que introduzcas corresponda a esa misma duración de periodo.

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Calculadora de Crecimiento Exponencial

final = initial · (1 + r)^t

final = initial · (1 − r)^t

Doubling time / half-life

Result

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Analista modelando crecimiento constante

Estudiante calculando una vida media

Estudiante de biología estimando generaciones

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Por qué las curvas exponenciales parecen engañosas

Resolver la tasa o el tiempo en lugar del valor final

El tiempo de duplicación y la vida media son números que dependen solo de la tasa

Composición discreta vs. continua

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