Los valores propios y vectores propios describen las direcciones que una matriz deja sin cambiar (aparte de la escala) — un concepto que aparece en todas partes, desde el análisis de vibraciones y la mecánica cuántica hasta el algoritmo PageRank de Google y el análisis de componentes principales en estadística. Esta calculadora resuelve ambos directamente a partir de una matriz 2×2 o 3×3 que introduces, mostrando el polinomio característico, los valores propios (reales o complejos) y un vector propio unitario para cada uno.
Cómo funciona el solucionador
La calculadora primero construye el polinomio característico det(A − λI) a partir de la traza y el determinante de la matriz (y, para una matriz 3×3, la suma de sus menores 2×2 principales). Para una matriz 2×2, este polinomio es una cuadrática, resuelta directamente con la fórmula cuadrática. Para una matriz 3×3 es una cúbica, resuelta con el mismo solucionador cúbico probado que usa la Calculadora de Ecuaciones Cúbicas — el polinomio característico de cualquier matriz 3×3 es, al final, solo una ecuación cúbica en λ. Una vez conocidos los valores propios, la calculadora encuentra un vector propio para cada uno reduciendo por filas (A − λI) para encontrar un vector no nulo en su espacio nulo, y luego escala ese vector a longitud unitaria.
Por qué los valores propios pueden ser complejos — y qué significan los valores propios repetidos
Incluso una matriz construida enteramente con números reales puede tener valores propios complejos, siempre que rote el espacio en lugar de solo estirarlo a lo largo de alguna dirección real (la matriz de rotación de 90° en los ejemplos anteriores es el caso más claro). Cuando eso ocurre, los valores propios complejos siempre llegan como un par conjugado, igual que las raíces complejas de un polinomio real. Por separado, una matriz puede tener un valor propio repetido — el mismo λ satisfaciendo la ecuación característica más de una vez. Si el espacio propio de ese valor propio (el conjunto de todos sus vectores propios) tiene exactamente tantas dimensiones como el número de repeticiones, la matriz sigue siendo diagonalizable. Si el espacio propio es más estrecho — solo una dirección independiente aunque el valor propio se repita dos o tres veces — la matriz se llama defectuosa, y la línea de interpretación de la calculadora señala este caso específicamente.
Dónde aparece esto en la práctica
Los valores propios miden cuánto estira una matriz el espacio a lo largo de las direcciones de sus vectores propios, por eso aparecen en una gama tan amplia de aplicaciones: las frecuencias naturales de vibración de una estructura son los valores propios de su matriz de rigidez, el comportamiento a largo plazo de una cadena de Markov está gobernado por el vector propio asociado a su mayor valor propio, y el análisis de componentes principales en estadística clasifica las direcciones de un conjunto de datos por los valores propios de su matriz de covarianza. En cada caso, se hace la misma pregunta subyacente: ¿qué direcciones trata esta matriz como "especiales", y en cuánto escala cada una?