Una ecuación cúbica, ax³ + bx² + cx + d = 0, siempre tiene exactamente tres raíces al contar las raíces repetidas y complejas — pero, a diferencia de una cuadrática, no siempre puedes ver de un vistazo si esas raíces son números reales que puedes graficar o números complejos que solo existen en el plano complejo. Esta calculadora resuelve las tres raíces directamente y usa el discriminante para explicar, en lenguaje sencillo, qué tipo de raíces estás viendo.
Cómo funciona el solucionador
La calculadora primero sustituye x = t − b/(3a) para eliminar el término x², convirtiendo la cúbica general en una cúbica "deprimida" más simple t³ + pt + q = 0. A partir de ahí, el camino depende del signo de una cantidad interna similar a un discriminante construida a partir de p y q: cuando es negativa, la ecuación tiene tres raíces reales distintas, y la calculadora usa una fórmula trigonométrica (construida con arccos y coseno) que se mantiene completamente dentro de los números reales. Cuando es positiva, la ecuación tiene una raíz real y un par conjugado complejo, y la calculadora usa la fórmula de Cardano con una función de raíz cúbica que maneja correctamente entradas negativas — evitando las trampas de selección de rama que afectan implementaciones ingenuas de la fórmula de Cardano en este caso. Cuando es cero (o muy cercana a cero), la ecuación tiene una raíz real repetida, que la calculadora detecta y etiqueta como raíz doble o triple.
Leyendo el discriminante
El discriminante, Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d², se calcula directamente a partir de los cuatro coeficientes — sin necesidad de resolver primero la ecuación. Su signo por sí solo indica la naturaleza de las raíces: Δ > 0 significa tres raíces reales distintas (la gráfica de la ecuación cruza el eje x tres veces separadas); Δ = 0 significa que al menos dos de las raíces coinciden (la gráfica toca el eje x sin cruzarlo en ese punto); Δ < 0 significa que solo una raíz es real y las otras dos forman un par conjugado complejo (la gráfica cruza el eje x exactamente una vez). Esto refleja el discriminante b² − 4ac más familiar de la fórmula cuadrática, solo extendido un grado más.
Por qué las raíces complejas siempre vienen en pares, y qué significa a = 0
Siempre que una ecuación cúbica tiene coeficientes reales (a, b, c y d son todos números reales ordinarios, no complejos en sí mismos), cualquier raíz compleja que tenga está garantizada a aparecer en pares conjugados — a + bi y a − bi — porque las partes imaginarias tienen que cancelarse para que el polinomio se evalúe en una ecuación de coeficientes reales. Por eso esta calculadora, y todo solucionador de cúbicas correcto, solo reporta 0 o 2 raíces complejas, nunca 1. Por separado, si introduces a = 0, el término x³ desaparece y la ecuación deja de ser una cúbica verdadera — es una cuadrática, bx² + cx + d = 0, así que la calculadora recurre automáticamente a la fórmula cuadrática (y aún más, a un solucionador lineal si b también es 0) en lugar de dividir entre cero.