Un número complejo extiende la recta de los números reales con un segundo eje perpendicular para los múltiplos de i, la unidad imaginaria donde i² = −1. Esta guía recorre las cuatro operaciones aritméticas, por qué el conjugado hace posible la división, cómo el módulo y el argumento describen la forma polar de un número complejo, y cómo el teorema de De Moivre convierte potencias y raíces en simple aritmética de ángulos.
Por qué existe i, y qué significa a + bi
Los números reales por sí solos no pueden resolver una ecuación como x² = −1, porque elevar al cuadrado cualquier número real da un resultado no negativo. Los matemáticos resolvieron esto definiendo un nuevo número, i, con la propiedad i² = −1. Un número complejo a + bi combina entonces una parte real ordinaria a con una parte imaginaria b, un múltiplo de i.
Geométricamente, cada número complejo corresponde a un punto (a, b) en un plano bidimensional — la parte real en el eje horizontal, la parte imaginaria en el eje vertical. Esto se llama el plano de Argand (o plano complejo), y convierte el álgebra de números complejos en geometría: la suma se convierte en suma de vectores, y la multiplicación se convierte en un escalado más una rotación.
Aritmética: sumar, restar, multiplicar, dividir
La suma y la resta funcionan componente a componente — combina las partes reales y luego las partes imaginarias, sin interacción entre ambas. La multiplicación es una expansión FOIL seguida de simplificar usando i² = −1: los términos cruzados se convierten en la nueva parte imaginaria, y el término i·i cambia de signo y pasa a formar parte de la parte real.
La división es la única operación que necesita un truco: no puedes racionalizar un denominador complejo como lo harías con una raíz cuadrada, así que en su lugar multiplicas el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Como z·conj(z) = |z|², el denominador se convierte en un número real simple, y la división se reduce a dos divisiones reales ordinarias. Dividir entre 0 + 0i no está definido por la misma razón que dividir entre 0 no está definido en la recta real — esta calculadora lo señala explícitamente en lugar de mostrar un resultado erróneo.
Módulo, argumento y forma polar
Todo número complejo tiene dos descripciones útiles además de a + bi. El módulo |z| = √(a² + b²) es su distancia al origen — literalmente el teorema de Pitágoras aplicado al punto (a, b). El argumento es el ángulo que ese punto forma con el eje real positivo, calculado con atan2(b, a) para que cada cuadrante (y los ejes) se resuelvan correctamente en lugar de dividir entre cero.
Juntos, módulo y argumento dan la forma polar r∠θ — una manera equivalente de escribir el mismo número. La forma polar suele ser más conveniente que a + bi: multiplicar dos números complejos en forma polar simplemente multiplica sus módulos y suma sus argumentos, lo cual es mucho más simple que la expansión FOIL en forma rectangular.
El teorema de De Moivre: potencias y raíces simplificadas
Multiplicar repetidamente un número complejo por sí mismo normalmente implicaría expansiones FOIL repetidas. El teorema de De Moivre simplifica esto: en forma polar, z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ) — se eleva el módulo a la potencia n y se multiplica el argumento por n. Elevar al cuadrado 1 + i (módulo √2, argumento 45°) de esta forma da módulo 2 y argumento 90°, es decir, 2i, coincidiendo con la expansión directa.
Encontrar una raíz n-ésima invierte el proceso, con un matiz: como los ángulos se repiten cada 2π (360°), existen exactamente n raíces distintas, distribuidas uniformemente alrededor de un círculo de radio r^(1/n). Cada una satisface raíz^n = z. Por eso, por ejemplo, la ecuación x³ = 1 tiene tres soluciones complejas, no solo una — la raíz real 1, más dos raíces complejas simétricas respecto al eje real.