What is the method for completing the square?

Add and subtract (b/2)² — half the x-coefficient, squared — to turn the x² and x terms into a perfect-square binomial, then simplify the remaining constants. When a ≠ 1, factor a out of the first two terms first.

How do I find the vertex from vertex form?

Once the expression is written as a(x − h)² + k, the vertex is simply the point (h, k) — no further calculation is needed.

What is the formula for h?

h = −b / (2a), where a and b are the leading and linear coefficients of the quadratic ax² + bx + c.

What is the formula for k?

k = c − b² / (4a), where a, b, and c are the coefficients of the quadratic ax² + bx + c.

What is vertex form used for?

Vertex form is used to read off a parabola's vertex directly, to graph a quadratic quickly, and to solve quadratic equations or optimization problems (like maximizing area or minimizing cost) without needing calculus.

What changes when a is not 1?

When a ≠ 1, factor a out of the ax² and bx terms before completing the square inside the parentheses, then distribute a back out over the constant that was subtracted. The formulas h = −b/(2a) and k = c − b²/(4a) already account for this automatically.

Calculadora de Completar el Cuadrado — Forma de Vértice Paso a Paso

📋

Paso a paso

Cómo usar esta calculadora

3 pasos

1

Introduce a, b y c

Escribe los coeficientes de tu cuadrática ax² + bx + c en las tres casillas. a no puede ser 0 — con a = 0 la expresión es lineal, no cuadrática. La calculadora se actualiza al instante mientras escribes.

2

Lee la forma de vértice

La pestaña Forma de Vértice muestra el resultado de completar el cuadrado: a(x − h)² + k. La pestaña Vértice separa h y k individualmente y muestra el punto vértice (h, k) — el mínimo de la parábola cuando a > 0, o el máximo cuando a < 0.

3

Recorre los pasos

Cambia a la pestaña Pasos para ver cada movimiento algebraico: agrupar los términos x² y x, tomar la mitad del coeficiente de x y elevarlo al cuadrado, sumar y restar ese cuadrado, y simplificar. Cuando a ≠ 1 los pasos también muestran cómo factorizar a primero.

⚡

Referencia

Fórmula y metodología

3 fórmulas

Forma de vértice

ax² + bx + c = a(x − h)² + k

Completar el cuadrado reescribe una cuadrática de la forma estándar (ax² + bx + c) a la forma de vértice (a(x − h)² + k), que expone directamente el vértice de la parábola en el punto (h, k).

h (coordenada horizontal del vértice)

h = −b / (2a)

h es la mitad del coeficiente de x dividido entre a, con el signo cambiado. También es la coordenada x donde el eje de simetría de la parábola la cruza — el mismo valor que produce el término −b/2a de la fórmula cuadrática.

k (coordenada vertical del vértice)

k = c − b² / (4a)

k es el término constante que queda después de completar el cuadrado. Equivale al valor de la cuadrática evaluada en x = h — el valor mínimo de la parábola cuando a > 0, o el máximo cuando a < 0.

📖

Glosario

Términos clave explicados

6 términos

Completar el cuadrado Una técnica algebraica que reescribe una expresión cuadrática ax² + bx + c como un binomio de cuadrado perfecto más una constante, a(x − h)² + k, sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal.

Forma de vértice La forma a(x − h)² + k de una cuadrática, donde (h, k) es el vértice de la parábola. Contrasta con la forma estándar (ax² + bx + c) y la forma factorizada (a(x − r₁)(x − r₂)).

Parábola La curva en forma de U (o de ∩) trazada por cualquier función cuadrática y = ax² + bx + c. Se abre hacia arriba cuando a > 0 y hacia abajo cuando a < 0.

Vértice El único punto de inflexión de una parábola — su punto más bajo si la parábola se abre hacia arriba, o su punto más alto si se abre hacia abajo. En la forma de vértice a(x − h)² + k, el vértice es exactamente (h, k).

Cuadrática Un polinomio de grado 2, escrito en forma estándar como ax² + bx + c con a ≠ 0. Su gráfica siempre es una parábola.

Eje de simetría La línea vertical x = h que pasa por el vértice de una parábola. La parábola es una imagen especular de sí misma respecto a esta línea.

👥

Escenarios

Ejemplos del mundo real

3 ejemplos

📐

Caso estándar (a = 1)

x² + 6x + 5

a 1 b 6 c 5

La mitad de 6 es 3, y 3² es 9. Sumar y restar 9 convierte x² + 6x + 5 en (x² + 6x + 9) − 9 + 5, que se simplifica a (x + 3)² − 4. El vértice está en (−3, −4) — el punto más bajo de la parábola, ya que a = 1 > 0.

📐

Lectura del vértice

Leyendo el vértice directamente

h −3 k −4

Una vez que la expresión está en forma de vértice (x + 3)² − 4, el vértice (h, k) = (−3, −4) puede leerse directamente — sin necesidad de más álgebra. Esta es precisamente la razón por la que la forma de vértice es útil: expone el mínimo o máximo sin graficar nada.

📐

Caso con a ≠ 1

2x² + 8x + 3

a 2 b 8 c 3

Cuando a ≠ 1, factoriza a de los dos primeros términos primero: 2(x² + 4x) + 3. Completa el cuadrado dentro del paréntesis (la mitad de 4 es 2, al cuadrado es 4), luego distribuye el 2 hacia afuera de nuevo: 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5. El vértice es (−2, −5).

📄

Análisis a fondo

Entendiendo Completar el Cuadrado

3 capítulos · 4 min de lectura

Completar el cuadrado convierte una cuadrática de la forma estándar (ax² + bx + c) a la forma de vértice (a(x − h)² + k), revelando al instante el vértice de la parábola sin graficar ni usar la fórmula cuadrática. También es la técnica usada para derivar la propia fórmula cuadrática.

Cómo funciona completar el cuadrado

Empieza con ax² + bx + c. Si a = 1, agrupa los términos x² y x, toma la mitad del coeficiente de x, y elévalo al cuadrado — ese cuadrado es exactamente lo necesario para convertir el grupo en un trinomio de cuadrado perfecto. Súmalo y réstalo para que el valor de la expresión no cambie, luego reescribe el cuadrado perfecto como (x − h)² y combina las constantes restantes en k.

Si a ≠ 1, factoriza a de los dos primeros términos antes de completar el cuadrado dentro del paréntesis, y luego distribuye a hacia afuera sobre la constante que se resta. Las fórmulas h = −b/(2a) y k = c − b²/(4a) dan el mismo resultado directamente, sin escribir cada paso algebraico a mano.

Entradas y qué significan

Introduce a, b y c exactamente como aparecen en tu cuadrática ax² + bx + c. a es el coeficiente principal y no puede ser 0 — un valor de 0 haría que la expresión fuera lineal, sin ningún cuadrado que completar. b es el coeficiente de x, y c es el término constante. Los tres pueden ser positivos, negativos, decimales o números enteros.

Los dos resultados, h y k, forman juntos el vértice (h, k). h indica el eje de simetría de la parábola (x = h), y k indica el valor mínimo o máximo que puede tomar la cuadrática.

Límites y casos especiales

Esta calculadora maneja coeficientes de números reales para una cuadrática estándar; no resuelve raíces complejas ni maneja cuadráticas de más de una variable. Cuando a está muy cerca de 0 (pero no es exactamente 0), h y k pueden volverse extremadamente grandes, ya que ambas fórmulas dividen entre a — verifica tus coeficientes si el resultado se ve inesperadamente enorme.

Completar el cuadrado está estrechamente relacionado con resolver ecuaciones cuadráticas: igualar la forma de vértice a 0 y despejar x es exactamente cómo se deriva la propia fórmula cuadrática. Si necesitas las raíces de ax² + bx + c = 0 en lugar de la forma de vértice, usa la Calculadora de Fórmula Cuadrática en su lugar.

❓

Preguntas

Preguntas frecuentes

6 preguntas

¿Cuál es el método para completar el cuadrado?+

Suma y resta (b/2)² — la mitad del coeficiente de x, al cuadrado — para convertir los términos x² y x en un binomio de cuadrado perfecto, y luego simplifica las constantes restantes. Cuando a ≠ 1, factoriza a de los dos primeros términos primero.

¿Cómo encuentro el vértice a partir de la forma de vértice?+

Una vez que la expresión está escrita como a(x − h)² + k, el vértice es simplemente el punto (h, k) — no se necesita ningún cálculo adicional.

¿Cuál es la fórmula para h?+

h = −b / (2a), donde a y b son los coeficientes principal y lineal de la cuadrática ax² + bx + c.

¿Cuál es la fórmula para k?+

k = c − b² / (4a), donde a, b y c son los coeficientes de la cuadrática ax² + bx + c.

¿Para qué se usa la forma de vértice?+

La forma de vértice se usa para leer directamente el vértice de una parábola, para graficar una cuadrática rápidamente, y para resolver ecuaciones cuadráticas o problemas de optimización (como maximizar área o minimizar costo) sin necesitar cálculo.

¿Qué cambia cuando a no es 1?+

Cuando a ≠ 1, factoriza a de los términos ax² y bx antes de completar el cuadrado dentro del paréntesis, y luego distribuye a hacia afuera sobre la constante que se restó. Las fórmulas h = −b/(2a) y k = c − b²/(4a) ya tienen esto en cuenta automáticamente.

Descarga al instante un PDF de una página con tus números. Añade tu correo para recibir además nuestros consejos ocasionales sobre calculadoras — sin spam, puedes darte de baja cuando quieras. Privacidad.

Calculadora de Completar el Cuadrado

Enter the quadratic ax² + bx + c

Step-by-step solution

Cómo usar esta calculadora

Introduce a, b y c

Lee la forma de vértice

Recorre los pasos

Fórmula y metodología

Términos clave explicados

Ejemplos del mundo real

Caso estándar (a = 1)

Lectura del vértice

Caso con a ≠ 1

Entendiendo Completar el Cuadrado

Cómo funciona completar el cuadrado

Entradas y qué significan

Límites y casos especiales

Preguntas frecuentes

Obtén un PDF con tus resultados

Calculadora de Completar el Cuadrado

Enter the quadratic ax² + bx + c

Step-by-step solution

Related Calculators

Cómo usar esta calculadora

Introduce a, b y c

Lee la forma de vértice

Recorre los pasos

Fórmula y metodología

Términos clave explicados

Ejemplos del mundo real

Entendiendo Completar el Cuadrado

Cómo funciona completar el cuadrado

Entradas y qué significan

Límites y casos especiales

Preguntas frecuentes

Obtén un PDF con tus resultados

Sigue explorando

Calculadoras relacionadas

Guías y artículos