Calcule o período, a frequência, a posição, a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples para um sistema massa-mola.
Sistema massa-mola
Massa presa a uma mola, em quilogramas (kg).
Rigidez da mola, em newtons por metro (N/m).
Deslocamento máximo de equilíbrio, em metros (m).
Posição, velocidade e aceleração no tempo t
Tempo decorrido desde o deslocamento máximo, em segundos (s).
A velocidade máxima e a aceleração máxima ocorrem à medida que a massa passa – e reverte momentaneamente – os extremos de sua oscilação. Ambos são calculados a partir da massa, constante da mola e amplitude inseridas acima; nenhuma entrada adicional é necessária.
Resultado
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Insira os valores acima para calcular.
4 min de leitura3 etapas7 termos3 exemplos6 perguntasω = √(k / m)
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
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Descreva o sistema massa-mola
Insira a massa fixada na mola em quilogramas, a constante da mola em newtons por metro e a amplitude da oscilação em metros. Esses três valores definem totalmente o movimento – o período e a frequência são atualizados instantaneamente conforme você digita.
2
Leia o período e frequência
O cartão de resultados sempre mostra o período (quanto tempo leva um ciclo completo de ida e volta) e a frequência (quantos ciclos acontecem por segundo). Estes dependem apenas da massa e da constante da mola, nunca da amplitude.
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Alternar visualizações para posição, velocidade ou valores máximos
Use a guia Posição/Velocidade para inserir um tempo específico e ver onde está a massa, quão rápido ela está se movendo e sua aceleração naquele instante. Use a guia Valores máximos para ver a velocidade máxima e a aceleração máxima alcançada durante o swing.
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Referência
Fórmula e metodologia
4 fórmulas▸
Frequência angular
ω = √(k / m)
A frequência angular ω (em radianos por segundo) depende apenas da constante de mola k (N/m) e da massa m (kg). Uma mola mais rígida ou uma massa mais leve aumentam ω, tornando a oscilação mais rápida.
Período e frequência
T = 2π / ω, f = 1 / T
O período T (segundos) é o tempo para um ciclo completo. A frequência f (Hz) é o número de ciclos por segundo. Nenhum dos dois depende da amplitude – um sistema massa-mola leva o mesmo tempo para completar um balanço, quer ele comece pequeno ou grande.
Supondo que a massa seja liberada do repouso com deslocamento máximo (t = 0), a posição x, a velocidade v e a aceleração a variam senoidalmente com o tempo, cada uma 90° fora de fase da anterior.
Velocidade e aceleração máximas
v_max = Aω, a_max = Aω²
A massa se move mais rápido ao passar pelo ponto de equilíbrio (v_max) e acelera com mais força nos extremos de sua oscilação, onde inverte momentaneamente a direção (a_max).
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Glossário
Principais termos explicados
7 termos▸
Movimento harmônico simplesMovimento oscilatório onde a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento do equilíbrio e aponta de volta para ele, produzindo um padrão senoidal suave e repetitivo ao longo do tempo.
Frequência angularDenotado ω, a taxa de mudança do ângulo de fase da oscilação, medida em radianos por segundo. Ele define a rapidez com que o sistema circula e é igual a √(k/m) para um sistema massa-mola.
PeríodoO tempo, em segundos, para a massa oscilante completar um ciclo completo – desde o deslocamento máximo, passando pelo equilíbrio, até o extremo oposto, e vice-versa.
AmplitudeO deslocamento máximo da massa a partir da sua posição de equilíbrio (repouso), medido em metros. Uma amplitude maior significa uma oscilação mais ampla, mas não altera o período.
FaseO argumento ωt dentro das funções cosseno e seno, descrevendo onde o sistema está atualmente no ciclo de oscilação. Ele avança linearmente com o tempo a uma taxa de ω radianos por segundo.
Restaurando a forçaA força que sempre atua para empurrar a massa de volta ao equilíbrio. Para uma mola, segue a lei de Hooke, F = -kx, e sua proporcionalidade ao deslocamento é o que torna o movimento harmônico simples.
OscilaçãoMovimento repetido de vaivém em torno de um ponto de equilíbrio central. O movimento harmônico simples é o modelo matemático de oscilação mais simples e comum na física.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Estudante de física
Mola de laboratório padrão
Massa (m) 0.5 kgConstante de mola (k) 200 N/m
Com ω = √(200 / 0,5) = 20 rad/s, o período chega a T = 2π/20 ≈ 0,314 s e a frequência a f ≈ 3,18 Hz. A constante da mola é a entrada que mais move o resultado – duplicar k encurta o período por um fator de √2, enquanto duplicar a massa o alonga pelo mesmo fator.
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Instrutor
Velocidade máxima e aceleração
Amplitude (A) 0,1mFrequência angular (ω) 20rad/s
Usando vmax = Aω = 0,1 × 20 = 2 m/s e amax = Aω² = 0,1 × 400 = 40 m/s², a massa atinge 2 m/s ao cruzar o equilíbrio e experimenta 40 m/s² de aceleração em cada extremo de seu balanço de 0,1 m.
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Verificação do dever de casa
Posição em um horário específico
Tempo (t) 0,05 segundosω, A (de cima) 20 rad/s, 0,1m
Em t = 0,05 s, ωt = 1 radiano, então x = 0,1·cos(1) ≈ 0,054 m — pouco mais da metade do caminho de volta ao equilíbrio a partir do extremo inicial, com velocidade e aceleração seguindo os termos correspondentes de seno e cosseno nessa mesma fase.
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Referência
Citar esta calculadora
APA e MLA▸
Use um destes formatos para citar esta calculadora em um trabalho ou relatório.
APA
MLA
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Análise detalhada
Compreendendo a calculadora de movimento harmônico simples
O movimento harmônico simples (SHM) descreve o movimento suave e repetitivo de vaivém de uma massa em uma mola, um pêndulo oscilante em pequenos ângulos ou qualquer sistema onde a força restauradora aumenta diretamente com o deslocamento. Esta calculadora modela o clássico caso massa-mola, transformando três entradas físicas – massa, constante de mola e amplitude – na imagem completa de como o sistema se move ao longo do tempo.
Como funciona a calculadora de movimento harmônico simples
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A calculadora parte da segunda lei de Newton aplicada a uma mola que obedece à lei de Hooke, F = -kx. Resolver essa equação diferencial mostra que a massa oscila com frequência angular ω = √(k/m), independente de quão longe ela é puxada para trás. De ω, o período T = 2π/ω e a frequência f = 1/T seguem diretamente. Supondo que a massa seja liberada do repouso em seu deslocamento máximo, sua posição em qualquer momento posterior será x(t) = A·cos(ωt), com velocidade e aceleração obtidas pela diferenciação dessa expressão uma e duas vezes, respectivamente.
Entradas e o que elas significam
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A massa (m) e a constante da mola (k) juntas definem o tempo da oscilação – quão rápido ela se repete – através de ω = √(k/m). A amplitude (A) define a escala do movimento – a distância que a massa percorre – mas não tem efeito no período ou na frequência, uma característica definidora do movimento harmônico simples. O tempo (t), usado apenas na guia Posição/Velocidade, permite que você experimente o movimento em qualquer instante para ver exatamente onde a massa está e como ela está se movendo.
Limites e casos extremos
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Este modelo assume uma mola ideal, sem massa, sem atrito ou resistência do ar, de modo que a amplitude nunca decai — sistemas reais perdem energia e o movimento é tecnicamente amortecido. Também assume que a massa é liberada do repouso no deslocamento máximo (t = 0 no extremo da amplitude); se o seu sistema iniciar em um ponto diferente do ciclo, os valores de posição/velocidade/aceleração serão deslocados em fase dos mostrados aqui, embora o período e a frequência permaneçam inalterados de qualquer maneira.
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Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Qual é a fórmula do movimento harmônico simples?+
A frequência angular é ω = √(k/m), onde k é a constante da mola e m é a massa. A posição ao longo do tempo segue x(t) = A·cos(ωt), onde A é a amplitude — o mesmo ω que define o período também orienta as equações de posição, velocidade e aceleração.
Como você encontra o período do movimento harmônico simples?+
Depois de conhecer a frequência angular ω, o período é T = 2π/ω. Para um sistema massa-mola, isso se expande para T = 2π√(m/k) - uma massa mais pesada ou uma mola mais macia (k inferior) aumentam o período, tornando a oscilação mais lenta.
Qual é a velocidade máxima no movimento harmônico simples?+
A velocidade máxima é vmax = Aω, alcançada à medida que a massa passa pela posição de equilíbrio. É diretamente proporcional à amplitude e à frequência angular, portanto, duplicar qualquer uma delas duplica a velocidade de pico.
Qual é a aceleração máxima no movimento harmônico simples?+
A aceleração máxima é amax = Aω², alcançada nos dois extremos do balanço onde a massa para momentaneamente e inverte a direção. Por ser dimensionado com ω², uma mola mais rígida ou uma massa mais leve aumenta a aceleração máxima muito mais rápido do que aumenta a velocidade máxima.
A amplitude afeta o período do movimento harmônico simples?+
Para um movimento harmônico simples ideal, o período depende apenas da massa e da constante da mola (T = 2π√(m/k)) - uma oscilação mais ampla e uma oscilação mais estreita do mesmo sistema levam exatamente a mesma quantidade de tempo para completar um ciclo.
Qual a diferença entre um pêndulo e um oscilador massa-mola?+
Um pêndulo simples balançando em ângulos pequenos também exibe movimento harmônico simples, mas sua frequência angular depende da gravidade e do comprimento (ω = √(g/L)) em vez de uma constante de mola e massa. Use a calculadora de pêndulo dedicada para esse sistema – a matemática sinusoidal subjacente é a mesma, apenas a fórmula para ω muda.
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