Calcule o momento de inércia de formas comuns — massa pontual, haste, disco, esfera, arco e cilindro — em torno de seus eixos padrão, mais o teorema dos eixos paralelos.
Entradas
kg
Massa total do objeto.
eu
Distância do eixo de rotação à massa ou raio/comprimento característico do objeto.
Momento de inércia
—
Escolha uma forma e insira a massa e o raio/comprimento acima.
Entradas
kg
Massa total do objeto.
eu
Usou um cálculo Icm para a forma selecionada em torno de seu próprio eixo de centro de massa.
eu
Distância entre o eixo do centro de massa e o novo eixo de rotação paralelo.
Momento de Inércia (compensação do eixo)
—
Insira massa, raio/comprimento e deslocamento do eixo acima.
Entradas
kg
Aplicado de todas as formas abaixo.
eu
Usado como raio para formatos de disco/esfera/aro/ponta e comprimento para hastes, de forma que cada formato seja comparado com a mesma massa e dimensão característica.
Como o formulário muda eu
—
Insira a massa e o raio/comprimento acima para comparar todas as oito formas.
4 min de leitura3 etapas7 termos3 exemplos6 perguntasI = m r^2
O momento de inércia (I) indica o quão difícil é acelerar ou desacelerar a rotação de um objeto, da mesma forma que a massa comum indica o quão difícil é acelerá-lo ou desacelerá-lo em linha reta.
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
1
Escolha uma forma e insira a massa e o raio/comprimento
Na guia Por forma, escolha a forma do objeto — massa pontual, haste, disco, esfera, arco ou cilindro — e insira sua massa e raio ou comprimento característico.
2
Leia o momento de inércia
O cartão de resultados mostra I em kg·m² junto com a fórmula exata usada, para que você possa ver quais números determinaram a resposta.
3
Mude o eixo ou compare formas
Mude para Eixo Paralelo para mover o eixo de rotação para fora do centro ou Compare para ver como I muda em todas as oito formas com a mesma massa e raio.
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Referência
Fórmula e metodologia
7 fórmulas▸
Massa pontual
I = m r^2
Uma única massa m orbitando a uma distância fixa r do eixo. A fórmula de todas as outras formas é construída a partir da soma dessa expressão sobre sua distribuição de massa.
Haste fina
I = (1/12) m L^2 (about center) | I = (1/3) m L^2 (about end)
Uma barra uniforme de comprimento L e massa m gira quatro vezes mais forte em torno de uma extremidade do que em torno de seu centro, porque a maior parte de sua massa fica longe de um eixo final.
Disco sólido ou cilindro
I = (1/2) m r^2
Um disco ou cilindro uniforme de raio r girando em torno de seu eixo de simetria central. A massa é espalhada do centro para r, não concentrada na borda.
Esfera sólida
I = (2/5) m r^2
Uma bola sólida uniforme de raio r girando em seu centro. A maior parte da massa de uma esfera fica mais próxima do eixo do que a de um disco, portanto seu coeficiente é menor.
Esfera oca (casca fina)
I = (2/3) m r^2
Uma casca esférica fina de raio r, com essencialmente toda a massa a uma distância r do centro, de modo que resiste mais à rotação do que uma esfera sólida da mesma massa.
Argola ou anel fino
I = m r^2
Um anel fino de raio r com toda a massa concentrada na borda - o maior coeficiente de qualquer formato para uma determinada massa e raio.
Teorema do eixo paralelo
I = I_cm + m d^2
O momento de inércia em torno de qualquer eixo paralelo a um que passa pelo centro de massa é igual a I_cm mais m vezes o quadrado da distância de deslocamento d entre os dois eixos.
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Glossário
Principais termos explicados
7 termos▸
Momento de inércia (I)Uma medida de quanto um objeto resiste a uma mudança na sua velocidade de rotação, em kg·m². Ele desempenha o mesmo papel na rotação que a massa desempenha no movimento em linha reta.
Inércia rotacionalOutro nome para momento de inércia – a resistência que um corpo em rotação oferece a uma mudança na sua velocidade angular quando um torque é aplicado.
Eixo de rotaçãoA linha imaginária em torno da qual um objeto gira. O mesmo objeto tem um momento de inércia diferente para cada eixo escolhido.
Teorema do eixo paraleloUma fórmula de atalho, I = I_cm + m d^2, que encontra I em torno de qualquer eixo paralelo ao eixo do centro de massa sem derivar novamente a integral do zero.
Raio de giraçãoA distância k do eixo no qual toda a massa de um objeto poderia ser concentrada para produzir o mesmo I, definida por I = m k^2.
Distribuição em massaComo a massa de um objeto é distribuída em relação ao eixo de rotação. Dois objetos com massa igual e raio externo igual podem ter I muito diferentes se sua massa estiver mais próxima ou mais distante do eixo.
Aceleração angularA taxa de variação da velocidade angular, relacionada ao torque e ao momento de inércia por τ = I α — a contrapartida rotacional de F = m a.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Estudante de física
Disco sólido em uma mesa giratória
Forma Disco sólidoMissa 2 kgRaio 0,5m
I = (1/2)(2)(0,5)^2 = 0,25 kg·m². Como a massa do disco é espalhada do centro para fora, em vez de concentrada na borda, ele resiste menos à rotação do que um arco com a mesma massa e raio.
🪐
Hobbyista de astronomia
Modelando um planeta como uma esfera sólida
Forma Esfera sólidaMissa 5 kg (modelo em escala)Raio 2 metros
I = (2/5)(5)(2)^2 = 8 kg·m². O coeficiente 2/5 é o menor dos formatos comuns porque a massa de uma esfera está, em média, mais próxima de seu próprio centro do que a massa de um disco ou de uma casca.
⚙️
Engenheiro mecânico
Deslocamento do volante do seu eixo de montagem
Forma Disco sólido, Icm = 0,25 kg·m²Missa 2 kgDeslocamento do eixo (d) 1 metro
I = Icm + m d^2 = 0,25 + (2)(1)^2 = 2,25 kg·m². Mover o eixo de rotação apenas 1 m fora do centro aumentou o momento de inércia em nove vezes, mostrando como I é sensível ao posicionamento do eixo, não apenas à forma.
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Referência
Citar esta calculadora
APA e MLA▸
Use um destes formatos para citar esta calculadora em um trabalho ou relatório.
O momento de inércia (I) indica o quão difícil é acelerar ou desacelerar a rotação de um objeto, da mesma forma que a massa comum indica o quão difícil é acelerá-lo ou desacelerá-lo em linha reta. Esta calculadora calcula I para as sete formas mais comuns de livros didáticos, além de como I muda quando o eixo de rotação é deslocado do centro de massa.
Como funciona a calculadora do momento de inércia
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A fórmula de cada forma vem da integração de r² sobre cada bit de massa do objeto, onde r é a distância desse bit ao eixo. Uma massa pontual concentra tudo a uma distância, dando o caso mais simples, I = m r². Formas estendidas (hastes, discos, esferas, aros) espalham a massa por uma variedade de distâncias, de modo que suas fórmulas carregam um coeficiente fracionário (1/12, 1/3, 1/2, 2/5, 2/3 ou 1) que captura como essa massa é distribuída em relação a r ou L. Esses são resultados padrão da mecânica de corpo rígido para objetos de densidade uniforme em torno do eixo nomeado para cada forma.
Entradas e o que elas significam
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Massa (m) é a massa total do objeto em quilogramas. A entrada de raio ou comprimento (r ou L) é o tamanho característico do objeto - o raio para discos, esferas, aros, cilindros e a distância de uma massa pontual do eixo, ou o comprimento total de uma haste. Na guia Eixo Paralelo, o deslocamento do eixo (d) é a distância entre o eixo do centro de massa do próprio objeto e o novo eixo sobre o qual você realmente deseja falar; um deslocamento maior aumenta I em m d², independentemente da forma do objeto.
Limites e casos extremos
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Essas fórmulas assumem densidade uniforme e formas idealizadas - um volante real com raios, uma esfera não uniforme ou uma haste com pesos finais terão um I diferente daquele fornecido pela fórmula simples do livro didático. A calculadora também assume unidades do SI (quilogramas, metros, kg·m²); sistemas de unidades de mistura produzirão silenciosamente uma resposta errada. Para um cálculo de spin-up acionado por torque, uma vez que você tenha I, consulte a Calculadora de Torque e a relação τ = I α.
❓
Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
O que a calculadora do momento de inércia realmente calcula?+
Ele calcula I, o equivalente rotacional da massa, para uma forma escolhida (massa pontual, haste, disco, esfera, arco ou cilindro), dada a massa dessa forma e o raio ou comprimento característico. I é medido em quilogramas-metros quadrados (kg·m²) e informa quanto torque é necessário para alterar a taxa de rotação do objeto.
Por que a fórmula do disco é I = 1/2 m r², mas o arco é I = m r²?+
Ambos têm a mesma massa e raio, mas um aro concentra toda a sua massa na borda (distância r do eixo), enquanto um disco espalha sua massa uniformemente do centro para r. Como o momento de inércia pesa a massa pelo quadrado de sua distância ao eixo, a massa na borda do aro resiste à rotação duas vezes mais que a massa espalhada do disco.
O que é o teorema dos eixos paralelos e quando preciso dele?+
O teorema do eixo paralelo, I = I_cm + m d², permite encontrar o momento de inércia em torno de qualquer eixo que corre paralelo (mas deslocado pela distância d) ao eixo do centro de massa de um objeto. Você precisará dele sempre que o eixo de rotação real — uma dobradiça, um parafuso de montagem, um ponto de articulação — não passar pelo centro de massa do próprio objeto.
Por que uma esfera sólida e uma esfera oca dão resultados diferentes para a mesma massa e raio?+
A massa de uma esfera sólida é distribuída por todo o seu volume, de modo que a maior parte dela fica mais próxima do centro do que o raio externo r. Uma esfera oca (casca fina) tem essencialmente toda a sua massa à distância r. Como I cresce com o quadrado da distância do eixo, o coeficiente da esfera oca (2/3) é maior que o da esfera sólida (2/5), embora ambas compartilhem os mesmos m e r.
Quais unidades a calculadora espera?+
Massa em quilogramas (kg) e raio ou comprimento em metros (m). O resultado, I, é expresso em quilograma-metro quadrado (kg·m²), a unidade padrão do SI para momento de inércia. Se suas medidas estiverem em outras unidades, converta-as para kg e m antes de inseri-las.
Posso compartilhar meus resultados?+
Sim - a calculadora codifica a guia selecionada, forma, massa, raio/comprimento e (na guia Eixo Paralelo) deslocamento do eixo no URL da página. Copiar a URL ou clicar no botão Compartilhar é suficiente para entregar um cenário específico a outra pessoa.
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