Calcule o nível de energia, o raio orbital e a velocidade do elétron de um átomo semelhante ao hidrogênio no modelo de Bohr e a energia de transição entre os níveis.
Nível de energia
Número quântico principal. 1 = estado fundamental, 2 = primeiro estado excitado, etc.
Z = 1 para hidrogênio, Z = 2 para He⁺, Z = 3 para Li²⁺.
Níveis de energia n=1–6 para Z=1
Nível
Eₙ (eV)
rₙ (Å)
Raio orbital e velocidade
Número quântico principal. 1 = estado fundamental, 2 = primeiro estado excitado, etc.
Z = 1 para hidrogênio, Z = 2 para He⁺, Z = 3 para Li²⁺.
Transição
O nível de energia inicial do elétron.
O nível de energia final do elétron. Maior que n1 = absorção; menor = emissão.
Z = 1 para hidrogênio, Z = 2 para He⁺, Z = 3 para Li²⁺.
Resultado
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Insira os valores acima para calcular.
5 min de leitura3 etapas7 termos3 exemplos6 perguntasEₙ = −13.6 · Z² / n² eV
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
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Escolha a guia que corresponde à sua pergunta
Use a guia Nível de energia quando desejar Eₙ para um determinado nível e elemento. Use a guia Raio e Velocidade para ver o tamanho orbital do elétron e a velocidade nesse nível. Use a guia Transição quando desejar a energia e o comprimento de onda de um fóton absorvido ou emitido à medida que um elétron se move entre dois níveis.
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Defina n e o número atômico Z
n é o número quântico principal (1 = estado fundamental, 2 = primeiro estado excitado e assim por diante) – insira um número inteiro de 1 ou superior. Z é o número atômico do íon semelhante ao hidrogênio (Z = 1 para hidrogênio, Z = 2 para He⁺, Z = 3 para Li²⁺); o modelo de Bohr é exato apenas para sistemas de um elétron.
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Leia o resultado e a escada energética
O cartão de resultados mostra o valor do título da guia ativa, além de uma interpretação em linguagem simples. Na guia Nível de energia, a tabela abaixo das entradas lista Eₙ e rₙ para n=1 a 6 no mesmo Z, para que você possa ver rapidamente como os níveis se comparam.
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Referência
Fórmula e metodologia
3 fórmulas▸
Energia do Nível n
Eₙ = −13.6 · Z² / n² eV
A energia de um elétron no nível n de um íon semelhante ao hidrogênio, em elétron-volts. O −13,6 eV é a energia de Rydberg (a energia de ligação do hidrogênio ao estado fundamental, Z=1, n=1). A energia é negativa porque o elétron está ligado; aproxima-se de zero quando n→∞, que é o ponto de ionização. Exemplo: o estado fundamental do hidrogênio (Z = 1, n = 1) fornece Eₙ = −13,6 eV exatamente, correspondendo à energia de ionização do hidrogênio medida.
Raio orbital e velocidade
rₙ = 0.529 · n² / Z Å; vₙ = 2.188×10⁶ · Z / n m/s
O raio de Bohr rₙ (em ångströms) é o raio da órbita clássico no nível n, escalonado a partir da constante do raio de Bohr a₀ = 0,529 Å. Ele cresce com o quadrado de n e diminui à medida que Z aumenta (um núcleo mais carregado puxa o elétron com mais força). A velocidade orbital vₙ vem de α·c·Z/n, onde α é a constante de estrutura fina e c é a velocidade da luz - em n=1, Z=1 isso dá cerca de 2.188.000 m/s, aproximadamente 0,73% da velocidade da luz.
A energia trocada quando um elétron se move do nível n1 para o nível n2. Um ΔE positivo (n2 > n1) significa que o elétron absorve um fóton para saltar; um ΔE negativo (n2 <n1) significa que ele emite um fóton caindo – a calculadora informa a magnitude e rotula a direção. O comprimento de onda usa o atalho padrão hc ≈ 1240 eV·nm. Exemplo: n1=2 → n2=1 (Z=1) dá ΔE = 10,2 eV emitido, λ ≈ 121,6 nm — a linha Lyman-alfa do hidrogênio.
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Glossário
Principais termos explicados
7 termos▸
Modelo BohrUm modelo quântico inicial do átomo (Niels Bohr, 1913) no qual os elétrons orbitam o núcleo apenas em níveis de energia fixos e quantizados, em vez de qualquer órbita arbitrária, e saltam entre os níveis absorvendo ou emitindo um fóton.
Nível de energiaUm dos estados de energia discretos e quantizados que um elétron pode ocupar em um átomo, rotulado pelo número quântico principal n = 1, 2, 3,… N inferior significa um estado de energia mais baixa e mais fortemente ligado.
Raio orbitalA distância do núcleo à órbita do elétron no modelo de Bohr em um determinado nível de energia n, que aumenta com n² e diminui à medida que a carga nuclear Z aumenta.
Raio de BohrO raio orbital do elétron no estado fundamental do hidrogênio (n=1, Z=1), uma constante física igual a cerca de 0,529 Å (5,29×10⁻¹¹ m), frequentemente escrita a₀.
Energia de ionizaçãoA energia necessária para remover completamente um elétron de um determinado nível para n = ∞ (um elétron livre e não ligado). Para o nível n é igual à magnitude da energia (negativa) desse nível, 13,6·Z²/n² eV.
TransiçãoO salto de um elétron de um nível de energia para outro, acompanhado pela absorção (passagem para um nível superior) ou emissão (passagem para um nível inferior) de um fóton cuja energia corresponde exatamente à diferença de nível.
Átomo semelhante ao hidrogênioQualquer átomo ou íon com exatamente um elétron orbitando um núcleo de carga Z, como H (Z = 1), He⁺ (Z = 2) ou Li²⁺ (Z = 3) - os únicos sistemas que o modelo simples de Bohr resolve com exatidão.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Estado fundamental do hidrogênio
O valor da linha de base do livro didático
Nível de energia n 1Número atômico Z 1
Eₙ = −13,6·1²/1² = −13,6 eV - a energia definidora do estado fundamental do hidrogênio, e o número contra o qual todos os outros resultados do modelo de Bohr são medidos. Também é exatamente igual à energia de ionização do hidrogênio, já que remover esse elétron para n=∞ requer exatamente 13,6 eV.
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Tamanho da órbita do estado fundamental
Qual é realmente o tamanho de um átomo de hidrogênio?
Nível de energia n 1Número atômico Z 1
rₙ = 0,529·1²/1 = 0,529 Å - o raio de Bohr a₀, o tamanho clássico da órbita eletrônica de um átomo de hidrogênio - com uma velocidade orbital de cerca de 2.188.000 m/s, aproximadamente 0,73% da velocidade da luz, correspondendo aos valores de referência padrão usados em livros didáticos de química e física.
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Emissão Lyman-Alfa
Um elétron cai de n = 2 para n = 1
Nível inicial n1 2Nível final n2 1Número atômico Z 1
ΔE = 13,6 · (1/1² - 1/2²) = 10,2 eV emitido, dando λ = 1240/10,2 ≈ 121,6 nm - a linha Lyman-alfa do hidrogênio, no ultravioleta, uma das linhas espectrais mais estudadas em astrofísica e espectroscopia de laboratório.
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Referência
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O modelo de Bohr foi a primeira imagem quântica do átomo: em vez de um continuum de órbitas possíveis, um electrão só pode ocupar uma escada fixa de níveis de energia, e move-se entre eles absorvendo ou emitindo um fotão com exactamente a energia certa. Esta calculadora aplica o modelo ao hidrogênio e íons semelhantes ao hidrogênio para calcular energia, tamanho orbital, velocidade e energias de transição.
Por que a energia é quantizada e negativa
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No modelo de Bohr, um elétron ligado a um núcleo só pode existir em níveis de energia discretos e específicos indexados pelo número quântico principal n = 1, 2, 3, … A energia de cada nível, Eₙ = −13,6·Z²/n² eV, é negativa porque o elétron está ligado – é necessária uma entrada de energia positiva para afastá-lo do núcleo. À medida que n aumenta, Eₙ sobe em direção a zero, e em n = ∞ o elétron está completamente livre (ionizado). A magnitude de Eₙ em qualquer nível é, portanto, também a energia de ionização desse nível: a energia necessária para remover inteiramente o elétron daquele ponto inicial.
Como o raio orbital e a escala de velocidade
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O raio orbital rₙ = 0,529·n²/Z Å cresce com o quadrado de n, o que significa que as órbitas de energia mais alta são dramaticamente maiores - a órbita n=2 é quatro vezes o raio de n=1. Uma carga nuclear Z maior puxa o elétron para uma órbita mais estreita, encolhendo rₙ proporcionalmente. A velocidade orbital vₙ = 2,188×10⁶·Z/n m/s vem do equilíbrio da atração de Coulomb em direção ao núcleo contra a força centrípeta necessária para manter o elétron em um caminho circular - ela aumenta com Z (uma atração mais forte requer mais velocidade para manter a órbita) e diminui com n (órbitas mais altas e distantes se movem mais lentamente).
Lendo uma transição: absorção vs. emissão
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A guia Transição calcula a energia trocada quando um elétron se move de um nível inicial n1 para um nível final n2. Se n2 for maior que n1, o elétron ganhou energia – absorveu um fóton para dar o salto. Se n2 for menor que n1, o elétron liberou energia – emitiu um fóton caindo para um estado mais fortemente ligado. A calculadora sempre informa a magnitude dessa diferença de energia junto com um rótulo claro de absorção/emissão, além do comprimento de onda do fóton correspondente usando λ(nm) = 1240/ΔE(eV).
Onde o modelo simples de Bohr falha
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O modelo de Bohr é exato apenas para sistemas semelhantes ao hidrogênio - um único elétron orbitando um núcleo de carga Z, como o próprio hidrogênio, He⁺ ou Li²⁺. Ele ignora o spin do elétron, as correções relativísticas e a repulsão elétron-elétron (blindagem) presente em qualquer átomo com mais de um elétron, portanto não pode ser aplicado diretamente ao hélio neutro ou a elementos mais pesados. A mecânica quântica moderna - a equação de Schrödinger e sua extensão relativística, a equação de Dirac - é necessária para modelar átomos multieletrônicos com precisão, embora a fórmula de nível de energia do modelo de Bohr continue sendo uma primeira aproximação notavelmente boa para sistemas de um elétron.
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Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Qual é a fórmula para os níveis de energia no modelo de Bohr?+
Eₙ = −13,6 · Z² / n² elétron-volts, onde n é o número quântico principal (n=1,2,3,…) e Z é o número atômico do íon semelhante ao hidrogênio. O resultado é negativo porque o elétron está ligado ao núcleo; a magnitude é igual à energia de ionização desse nível.
Qual é a energia do estado fundamental do hidrogênio?+
Para o hidrogênio (Z = 1) em seu nível mais baixo (n = 1), Eₙ = −13,6 eV exatamente - esta é a energia de Rydberg e também a energia de ionização do hidrogênio, um dos valores de referência mais citados na física atômica.
Qual é a fórmula do raio orbital de Bohr?+
rₙ = 0,529 · n² / Z ångströms, onde 0,529 Å é o raio de Bohr a₀ (tamanho da órbita do estado fundamental do hidrogênio). O raio cresce com o quadrado de n e diminui à medida que o número atômico Z aumenta.
O que é uma transição de elétrons e como posso saber se é absorção ou emissão?+
Uma transição é um elétron saltando entre níveis de energia. Na aba Transição, passar para um nível mais alto (n2 maior que n1) é absorção; cair para um nível mais baixo (n2 menor que n1) é emissão. A calculadora lê sua ordem n1 e n2 e rotula a direção automaticamente.
O que acontece quando n se aproxima do infinito?+
À medida que n→∞, Eₙ se aproxima de zero — o elétron torna-se desvinculado (ionizado) e livre do núcleo. A energia necessária para atingir esse ponto a partir do nível n é a energia de ionização, 13,6·Z²/n² eV.
Quais unidades esta calculadora usa?+
A energia está em elétron-volts (eV), o raio orbital em ångströms (Å), a velocidade orbital em metros por segundo (m/s) e o comprimento de onda de transição em nanômetros (nm) — as unidades padrão usadas nos livros de física e química atômica.
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