Calcule a contração relativística do comprimento – quanto mais curto um objeto em movimento parece – a partir de seu comprimento e velocidade adequados, mais o fator de Lorentz por trás dele.
Comprimento Contraído — L = L₀ √(1 − v²/c²)
Comprimento do objeto medido em seu próprio quadro de repouso (qualquer unidade de comprimento — o resultado usa a mesma unidade).
Velocidade relativa ao longo da direção do movimento. A troca de unidades converte o valor automaticamente.
Fator de Lorentz — γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Velocidade relativa. Gama (γ) também define o fator de dilatação do tempo e a velocidade.
Varredura de velocidade – contração em velocidades predefinidas
O comprimento adequado é usado para calcular o comprimento contratado em cada velocidade predefinida abaixo.
Velocidade
Fator de Lorentz (γ)
Comprimento contratado
% de L₀ restante
Resultado
—
Insira os valores acima para calcular.
4 min de leitura3 etapas7 termos3 exemplos6 perguntasL = L₀ × √(1 − v²/c²) = L₀ / γ
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
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Insira o comprimento e a velocidade adequados
Na guia Comprimento Contraído, insira o comprimento adequado do objeto (L₀) — seu comprimento medido em repouso em seu próprio referencial — e a velocidade relativa (v). Alterne a unidade de velocidade entre uma fração de c (por exemplo, 0,6) e m/s; a calculadora converte automaticamente quando você muda.
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Leia o comprimento contratado e o fator Lorentz
O cartão de resultados mostra o comprimento contraído – quão curto o objeto parece para um observador estacionário observando-o se mover – junto com o fator de Lorentz (γ) usado para calculá-lo. A linha de interpretação indica a porcentagem menor em linguagem simples.
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Compare as velocidades nas guias Fator de Lorentz e Varredura de velocidade
Mude para a guia Lorentz Factor para ver γ e a taxa de contração para uma velocidade isolada, ou para a guia Velocity Sweep para ver a contração em um conjunto fixo de velocidades predefinidas (10% de c até 99,9% de c) em uma tabela.
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Referência
Fórmula e metodologia
2 fórmulas▸
Contração de comprimento
L = L₀ × √(1 − v²/c²) = L₀ / γ
L é o comprimento contraído observado por alguém em relação ao qual o objeto está se movendo; L₀ é o comprimento adequado medido em repouso no próprio referencial do objeto; v é a velocidade relativa; c é a velocidade da luz (299.792.458 m/s). A contração ocorre apenas ao longo da direção do movimento – as dimensões perpendiculares ao movimento não são afetadas.
Fator de Lorentz
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
O fator de Lorentz γ cresce de 1 (em repouso) em direção ao infinito à medida que v se aproxima de c. Ele define a contração do comprimento (comprimentos divididos por γ) e a dilatação do tempo (durações multiplicadas por γ) para a mesma velocidade relativa.
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Glossário
Principais termos explicados
7 termos▸
Contração de comprimentoO efeito relativístico no qual o comprimento de um objeto, medido ao longo de sua direção de movimento, parece mais curto para um observador ao qual o objeto está se movendo - em comparação com seu comprimento medido em repouso.
Fator de Lorentz (γ)O fator de escala adimensional γ = 1/√(1 − v²/c²) que governa tanto a contração do comprimento quanto a dilatação do tempo na relatividade especial. γ = 1 em repouso e aumenta ilimitadamente à medida que v se aproxima da velocidade da luz.
Comprimento adequadoO comprimento de um objeto medido por um observador em repouso em relação a ele - seu comprimento medido mais longo possível. Todos os outros observadores, movendo-se em relação ao objeto, medem um comprimento mais curto (contraído).
Relatividade especialA teoria de Einstein de 1905, que descreve como as medições do espaço e do tempo mudam para observadores que se movem a velocidade constante um em relação ao outro, baseada no postulado de que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores.
Velocidade da luz (c)A velocidade com que a luz viaja no vácuo é exatamente 299.792.458 metros por segundo. Nenhum objeto com massa pode atingir ou exceder c, e os efeitos relativísticos, como a contração do comprimento, tornam-se significativos apenas quando v se aproxima de uma fração significativa de c.
Quadro de referênciaUm sistema de coordenadas e um conjunto de relógios usados por um observador para medir posição, tempo e comprimento. A contração do comprimento depende do quadro: o próprio quadro de repouso do objeto sempre mede todo o seu comprimento adequado; um quadro ao qual ele se move mede um comprimento menor.
pés (ft)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 pé (ft) = 12 polegadas (in) = 0,3048 m.
Em v = 0,866c, o fator de Lorentz γ ≈ 2,00, então a espaçonave de 10 m parece se contrair até cerca de 5 m - exatamente metade de seu comprimento adequado - para um observador que a observa passar.
Em v = 0,99c, γ ≈ 7,09, então o comprimento do objeto diminui para aproximadamente 14,1% de seu comprimento adequado - até cerca de 1,41 m de 10 m. A contração acelera acentuadamente à medida que v se aproxima de c.
Um jato a 250 m/s tem apenas cerca de 0,000083% da velocidade da luz, então γ é indistinguível de 1 com precisão normal – a contração é pequena demais para ter importância na vida cotidiana.
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Referência
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Análise detalhada
Compreendendo a contração do comprimento e o fator de Lorentz
A contração do comprimento é um dos dois efeitos característicos da relatividade especial de Einstein (juntamente com a dilatação do tempo): objetos que se movem em relação a um observador são mais curtos ao longo de sua direção de movimento do que em repouso. Esta calculadora calcula o comprimento contraído, o fator de Lorentz e como a contração aumenta em uma faixa de velocidades.
Como funciona a contração do comprimento
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A contração do comprimento decorre diretamente do postulado de que a velocidade da luz é constante para todos os observadores. Se dois observadores devem concordar sobre a rapidez com que a luz viaja, eles não podem concordar sobre distâncias e intervalos de tempo da mesma forma que a mecânica clássica assume. A fórmula L = L₀√(1 − v²/c²) captura isso: o comprimento contraído L, visto por um observador ao qual o objeto está se movendo em relação, é sempre menor ou igual ao comprimento adequado L₀, e os dois são iguais apenas quando v = 0.
Crucialmente, a contração é relativa e afeta apenas a dimensão paralela ao movimento. Um observador que acompanha o objeto sempre mede todo o seu comprimento adequado - para eles, nada se contraiu. Somente os observadores que veem o objeto em movimento é que medem o comprimento mais curto.
O fator Lorentz une a contração e a dilatação do tempo
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O fator de Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²) é o único número que governa os dois principais efeitos relativísticos em uma determinada velocidade: comprimentos divididos por γ (contração), enquanto intervalos de tempo multiplicados por γ (dilatação). Nas velocidades diárias, γ é tão próximo de 1 que ambos os efeitos são imensuráveis sem instrumentos extremamente precisos. Somente quando v se aproxima de uma fração significativa de c é que γ sobe visivelmente — atingindo 2 em cerca de 86,6% de c, e divergindo em direção ao infinito à medida que v se aproxima do próprio c.
Entradas, unidades e limites
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O comprimento adequado pode ser inserido em qualquer unidade de comprimento consistente (metros, pés, etc.) — o comprimento contratado é retornado na mesma unidade. A velocidade pode ser inserida como uma fração de c (0 a pouco menos de 1) ou em m/s, e a calculadora converte entre os dois automaticamente quando você troca de unidade. A fórmula é indefinida na velocidade da luz ou acima dela, pois nenhum objeto com massa pode atingir c; a calculadora sinaliza qualquer velocidade igual ou superior a c em vez de retornar um resultado. Em contextos cotidianos de engenharia – veículos, aeronaves e até espaçonaves orbitais – v/c é tão pequeno que a contração do comprimento não tem efeito mensurável; só se torna significativo para aceleradores de partículas, raios cósmicos e experimentos mentais que envolvem viagens próximas à velocidade da luz.
❓
Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Qual é a fórmula de contração do comprimento?+
L = L₀√(1 − v²/c²), onde L é o comprimento contraído visto por um observador ao qual o objeto se move em relação, L₀ é o comprimento adequado do objeto (quadro de repouso), v é a velocidade relativa e c é a velocidade da luz. Equivalentemente, L = L₀/γ, onde γ é o fator de Lorentz.
Quanto um objeto se contrai a 0,866c?+
Em v = 0,866c, o fator de Lorentz γ ≈ 2,00, então o comprimento medido do objeto é cortado aproximadamente pela metade - ele parece cerca de 50% mais curto do que seu comprimento adequado ao longo da direção do movimento.
A contração do comprimento ocorre em todas as direções?+
Não – a contração ocorre apenas ao longo da direção do movimento relativo. As dimensões perpendiculares ao movimento (altura e largura, para um objeto que se move horizontalmente) permanecem inalteradas.
A contração do comprimento é perceptível nas velocidades diárias?+
Não. Em velocidades como a de um carro, avião ou até mesmo de um foguete, v/c é uma pequena fração de um, então o fator de Lorentz é indistinguível de 1 e a contração é pequena demais para ser detectada sem instrumentos extremamente sensíveis.
Quais unidades a calculadora usa?+
O comprimento adequado pode ser qualquer unidade de comprimento consistente — o comprimento contratado é retornado na mesma unidade. A velocidade pode ser inserida como uma fração de c (um valor entre 0 e pouco menos de 1) ou em metros por segundo; alternar a alternância da unidade converte o valor inserido automaticamente.
O que acontece quando a velocidade se aproxima da velocidade da luz?+
À medida que v se aproxima de c, o fator de Lorentz γ cresce sem limites e o comprimento contraído L diminui para zero. Em c ou acima, a fórmula é indefinida - nenhum objeto com massa pode atingir a velocidade da luz, então a calculadora bloqueia entradas em c ou acima em vez de retornar um resultado.
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