As seis funções trigonométricas descrevem a relação entre um ângulo e os lados de um triângulo retângulo – ou, mais geralmente, entre um ângulo e um ponto no círculo unitário. Esta calculadora lida com ambas as direções: transformar um ângulo em todos os seis valores de função e transformar uma proporção conhecida novamente em um ângulo com as funções inversas.
Dos triângulos retângulos ao círculo unitário
A trigonometria começa com SOH-CAH-TOA: o seno é oposto à hipotenusa, o cosseno é adjacente à hipotenusa, a tangente é oposta à adjacente. Essa definição só funciona para ângulos entre 0° e 90°, já que um triângulo retângulo não pode ter um ângulo de 180° ou −45°. A definição de círculo unitário estende as funções a todos os ângulos reais: seno é a coordenada y e cosseno é a coordenada x do ponto onde o raio do ângulo encontra um círculo de raio 1, e tangente é sua razão. É por isso que seno e cosseno estão sempre entre −1 e 1 (as coordenadas do círculo nunca excedem esse intervalo), enquanto a tangente pode ser qualquer número real.
Por que algumas funções são indefinidas em certos ângulos
Tangente, secante e cotangente são todas definidas como razões, e uma razão é indefinida quando seu denominador é zero. A tangente (sin/cos) e a secante (1/cos) se decompõem sempre que o cosseno é igual a zero – em 90°, 270° e a cada 180° depois disso. A cotangente (cos/sin) e a cossecante (1/sin) se decompõem sempre que o seno é igual a zero – em 0°, 180°, 360° e assim por diante. Graficamente, estas são as assíntotas verticais que você vê em uma curva tangente ou secante: a função dispara em direção ao infinito positivo ou negativo à medida que o ângulo se aproxima do ponto indefinido, mas nunca atinge um valor lá.
Por que trigonometria inversa tem um domínio restrito
Como seno e cosseno só produzem valores entre -1 e 1, suas funções inversas (sen⁻¹ e cos⁻¹) só podem aceitar entradas nesse mesmo intervalo - não há ângulo cujo seno seja 2, então sin⁻¹(2) simplesmente não existe. Arctangent não tem essa restrição porque o intervalo de saída da tangente são todos números reais, então tan⁻¹ aceita qualquer valor. Uma segunda sutileza: seno e cosseno são periódicos, então um número infinito de ângulos compartilham o mesmo valor de seno (30°, 150°, 390°, …). As funções inversas retornam exatamente um deles - o "valor principal" - que para sin⁻¹ está sempre entre −90° e 90°, para cos⁻¹ entre 0° e 180°, e para tan⁻¹ estritamente entre −90° e 90°.
Graus vs. radianos
Os graus dividem um círculo em 360 partes iguais, uma convenção que remonta à antiga astronomia babilônica. Os radianos medem o ângulo pelo comprimento do arco: um radiano é o ângulo onde o comprimento do arco é igual ao raio, dando 2π radianos por círculo completo. Radianos são a unidade natural em cálculo e física porque simplificam perfeitamente as fórmulas de derivadas e séries para seno e cosseno, enquanto os graus continuam sendo a unidade cotidiana para navegação, construção e a maior parte da geometria dos livros didáticos. Esta calculadora aceita e exibe ambos, para que você possa trabalhar em qualquer unidade que seu material de origem usar.