A lei dos cossenos permite resolver um triângulo quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles (SAS), ou todos os três lados (SSS) - os dois casos que a lei dos senos não pode tratar diretamente, já que nenhum deles fornece um par ângulo-lado pronto. Esta calculadora resolve o lado ou ângulo que falta e, em seguida, encadeia a mesma identidade para preencher o resto do triângulo e sua área.

Como funciona a calculadora da Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos, c² = a² + b² − 2ab·cosC, relaciona os três lados de um triângulo ao cosseno do ângulo oposto ao lado c. No modo SAS, C é o ângulo incluído conhecido entre os lados a e b, portanto, inserir diretamente na fórmula fornece o lado c. No modo SSS, todos os três lados são conhecidos e a fórmula é reorganizada para resolver o ângulo: cosC = (a² + b² − c²) / (2ab).

Depois que uma incógnita é resolvida, a calculadora encontra os dois ângulos restantes usando a lei dos cossenos novamente (não a lei dos senos) — por exemplo, A = acos((b²+c²−a²)/(2bc)), então B = 180° − A − C. Usar a lei dos cossenos para cada ângulo evita o problema de caso ambíguo que a lei dos senos tem com sua função seno de dois valores: o inverso do cosseno tem valor único na faixa de ângulo de 0° a 180° de um triângulo, então nunca há um segundo ângulo candidato para descartar.

Entradas e o que elas significam

No modo SAS, o ângulo C deve ser o ângulo incluído — aquele diretamente entre os lados a e b, e não oposto a um deles. Inserir um ângulo oposto a um lado em vez de entre dois lados é o caso SSA, que a lei dos cossenos não pode resolver diretamente (que precisa da lei dos senos e carrega o risco de caso ambíguo que o design SAS/SSS desta calculadora evita totalmente).

No modo SSS, todos os três lados devem satisfazer a desigualdade do triângulo - cada par de lados deve somar mais do que o terceiro lado (a+b>c, a+c>b, b+c>a). Caso contrário, não existirá nenhum triângulo com essas medidas e a calculadora sinalizará isso em vez de retornar um resultado sem sentido.

Limites e casos extremos

Esta calculadora resolve triângulos planos (euclidianos) com valores de entrada exatos — ela não modela incerteza de medição ou geometria esférica (usada em alguns problemas de navegação e astronomia). Se, em vez disso, você conhece um par ângulo-lado mais mais um valor (ASA, AAS ou SSA), a lei dos cossenos não é a ferramenta certa - use a lei dos senos, que também pode precisar sinalizar o caso ambíguo SSA.

Um triângulo que mal satisfaz a desigualdade SSS, ou um ângulo SAS muito próximo de 0° ou 180°, produz um triângulo válido, mas quase degenerado - um triângulo tão "plano" que sua área é próxima de zero. A calculadora ainda os resolve corretamente em vez de rejeitá-los, mas sinaliza o resultado para que você possa verificar suas entradas se isso for inesperado.