As fórmulas de ângulo duplo permitem encontrar sin(2θ), cos(2θ) e tan(2θ) apenas a partir de sinθ, cosθ e tanθ — não há necessidade de calcular 2θ ou procurar um novo ângulo em uma tabela trigonométrica. Eles surgem constantemente em cálculo (simplificação de integrais), física (fórmulas de alcance de projéteis) e em qualquer problema de geometria em que um ângulo seja duplicado.
De onde vêm as identidades
Toda identidade de ângulo duplo é um caso especial das fórmulas de adição de ângulos. Começando com sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB, definir A = B = θ dá sin(2θ) = 2 sinθ cosθ. A mesma substituição em cos(A + B) = cosA cosB − sinA sinB dá cos(2θ) = cos²θ − sin²θ. Como sen²θ + cos²θ = 1, essa forma de cosseno pode ser reescrita de mais duas maneiras — 2cos²θ − 1 ou 1 − 2sen²θ — e é por isso que a calculadora lista todos os três: escolha o que corresponde ao valor que você já possui.
Do ângulo vs. do sen/cos
Use a guia Do Ângulo sempre que você tiver o próprio θ, em graus ou radianos. Use a guia De sin/cos quando um problema lhe entregar sinθ e cosθ diretamente — comum em problemas de vetores e triângulos onde θ nunca foi declarado como um número. Ambas as guias produzem os mesmos valores sen2θ/cos2θ/tan2θ quando descrevem o mesmo ângulo; a calculadora sinaliza pares sen/cos que não satisfazem sen²θ + cos²θ = 1, pois isso significa que ambos não podem vir de um ângulo real.
Identidades de meio ângulo e quando a tangente é indefinida
A aba Meio Ângulo executa a relação ao contrário: dado θ, ela retorna sin(θ/2), cos(θ/2) e tan(θ/2). Observe os resultados indefinidos - tanθ é indefinido em θ = 90° e 270° (onde cosθ = 0), e tan(2θ) é separadamente indefinido em θ = 45° e 135° (onde 1 − tan²θ = 0), porque 2θ então pousa exatamente em 90° ou 270°. A calculadora exibe 'indefinido' em vez de um símbolo de erro ou infinito nesses casos.