Calcule o comprimento do arco e a área do setor de um círculo a partir do raio e do ângulo central ou, em vez disso, resolva o raio ou o ângulo.
Entradas
Escolha o que resolver acima – a entrada que se torna desconhecida é ocultada automaticamente.
Comprimento do arco
—
Insira um raio e um ângulo acima para calcular.
Comprimento do arco—
Área setorial—
Circunferência completa (2πr)—
Arco - espaço de corda—
Arco X, área do setor Y.
Diagrama do setor
Valores resolvidos
—
Insira os valores acima para calcular.
Rádio—
Ângulo central—
Comprimento do arco—
Resolva o raio ou ângulo usando o seletor acima.
Comprimento do acorde
—
Insira os valores acima para calcular.
Comprimento do acorde—
Raio usado—
Ângulo usado—
A distância em linha reta entre as duas extremidades do arco.
5 min de leitura3 etapas8 termos3 exemplos6 perguntass = rθ
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
1
Insira o raio e o ângulo central
Digite o raio do círculo e o ângulo central que abrange o arco que você está medindo. Escolha Graus ou Radianos no seletor de unidades próximo ao campo de ângulo – a calculadora converte internamente para que você nunca precise fazer essas contas manualmente.
2
Leia o comprimento do arco e a área do setor
A guia Arco e Setor é atualizada instantaneamente: o número do título é o comprimento do arco (s = rθ) e a linha de detalhe mostra a área do setor (½r²θ) e o comprimento da corda juntos. Mude para a guia Chord para obter uma leitura dedicada da distância em linha reta entre os dois pontos finais do arco.
3
Ou resolva de trás para frente para raio ou ângulo
Se você já conhece o comprimento do arco e deseja o raio ou o ângulo, use o menu suspenso "Resolver para" na parte superior. Escolher "Raio" troca o campo de raio por um campo de comprimento de arco; escolher "Ângulo" faz o mesmo para o campo ângulo. A guia Resolver mostra o valor que você está resolvendo.
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Referência
Fórmula e metodologia
3 fórmulas▸
Comprimento do arco
s = rθ
O comprimento do arco s é igual ao raio r multiplicado pelo ângulo central θ, medido em radianos. Esta é a definição de um radiano: um radiano é o ângulo que traça um arco exatamente tão longo quanto o raio, portanto, multiplicar por r simplesmente aumenta essa relação. Se o seu ângulo estiver em graus, converta-o primeiro com θ(rad) = θ(deg) × π/180.
Área do setor
A = ½r²θ
Um setor circular é a região em forma de fatia delimitada pelos dois raios e pelo arco. Sua área é metade do raio ao quadrado vezes o ângulo central em radianos - a mesma forma ½r²θ da fórmula da área de círculo completo πr² (que é apenas o caso especial θ = 2π: ½r²(2π) = πr²).
Comprimento do acorde
c = 2r·sin(θ/2)
A corda é a linha reta que conecta as duas extremidades do arco, em oposição ao próprio arco curvo. Ela vem da divisão do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda em dois triângulos retângulos: cada meia corda é r·sin(θ/2), então a corda completa é o dobro disso.
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Glossário
Principais termos explicados
8 termos▸
Comprimento do arcoA distância ao longo da parte curva de um círculo entre dois pontos, em oposição à distância em linha reta (corda) entre os mesmos dois pontos. Calculado como s = rθ com θ em radianos.
SetorA região em forma de fatia de um círculo delimitada por dois raios e o arco entre eles. Sua área é ½r²θ.
Ângulo centralO ângulo formado no centro do círculo pelos dois raios que limitam um setor ou arco. Pode ser medido em graus ou radianos — esta calculadora aceita e converte ambos.
radianoA unidade SI de ângulo, definida de modo que um ângulo de 1 radiano varra um arco de comprimento igual ao raio. Um círculo completo tem 2π radianos (cerca de 6,283), o que equivale a 360°, então 1 radiano ≈ 57,296°.
AcordeUm segmento de linha reta conectando dois pontos em um círculo. Ao contrário do arco, que segue a curva, a corda é o caminho mais curto (em linha reta) entre os dois pontos: c = 2r·sin(θ/2).
Setor circularOutro nome para setor — a região delimitada por um arco e os dois raios em suas extremidades, comumente visualizado como uma fatia de torta ou pizza.
polegadas (in)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 polegada (in) = 2,54 cm.
milhas (mi)Milha terrestre usada nos Estados Unidos. 1 mi = 1,609344 km.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Cálculo futuro
Raio 5, ângulo central 60°
Raio 5Ângulo central 60°
A conversão de 60° em radianos dá θ = 60 × π/180 ≈ 1,0472 rad. Comprimento do arco = 5 × 1,0472 ≈ 5,236 unidades. Área do setor = ½ × 5² × 1,0472 ≈ 13,09 unidades quadradas. Comprimento da corda = 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 unidades — observe que a corda (5) é mais curta que o arco (5,236), como sempre é para qualquer ângulo menor que um círculo completo, já que uma linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos.
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Resolvendo para trás para raio
Comprimento do arco 5,236, ângulo central 60° → raio?
Comprimento do arco 5.236Ângulo central 60°
Reorganizar s = rθ dá r = s / θ. Com θ = 60° ≈ 1,0472 rad, raio = 5,236 / 1,0472 ≈ 5,000. Este é exatamente o inverso do primeiro exemplo - útil quando você mediu o comprimento de um arco no campo (digamos, uma seção curva de uma estrada ou trilha) e o ângulo que ele subtende, mas precisa encontrar o raio da curva em que ele se encontra.
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Acorde de uma varredura mais ampla
Raio 10, ângulo central 90°
Raio 10Ângulo central 90°
A 90° (um quarto de círculo), θ = π/2 ≈ 1,5708 rad. Comprimento do arco = 10 × 1,5708 ≈ 15,71 unidades. Comprimento da corda = 2 × 10 × sin(45°) ≈ 20 × 0,7071 ≈ 14,14 unidades. Aqui a lacuna entre o arco e a corda é muito mais visível do que no exemplo de 60° - quanto maior o ângulo, mais o arco curvo ultrapassa a corda reta, até que em uma varredura completa de 360° a corda encolhe de volta para 0 enquanto o arco é igual a toda a circunferência.
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Referência
Citar esta calculadora
APA e MLA▸
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MLA
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Análise detalhada
Compreendendo a calculadora de comprimento de arco
Um arco é apenas um pedaço da circunferência de um círculo e, uma vez conhecido o raio e o ângulo central que o define, três medidas relacionadas surgem imediatamente: qual o comprimento do arco em si, quanta área o setor em forma de fatia de pizza cobre e a que distância as duas extremidades do arco estão em linha reta (a corda). Esta calculadora calcula todos os três a partir do raio e do ângulo, e também pode trabalhar de trás para frente para resolver o raio ou o ângulo quando você já conhece o comprimento do arco.
Como funciona a calculadora de comprimento de arco
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A relação central é s = rθ, onde θ deve estar em radianos — esta é literalmente a definição de um radiano, já que um radiano é o ângulo que traça um arco exatamente tão longo quanto o raio. Se você inserir seu ângulo em graus, a calculadora o converte em radianos (θ_rad = θ_deg × π/180) antes de executar qualquer fórmula e, em seguida, converte novamente para exibição para que você nunca veja uma unidade desconhecida, a menos que solicite.
A área do setor (½r²θ) e o comprimento da corda (2r·sin(θ/2)) caem fora do mesmo raio e ângulo conhecidos, então todos os três resultados são atualizados juntos no momento em que você altera uma entrada. Resolver retroativamente o raio (r = s/θ) ou o ângulo (θ = s/r) apenas reorganiza a mesma fórmula s = rθ.
Entradas e o que elas significam
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Raio é a distância do centro do círculo até sua borda — qualquer unidade consistente funciona (polegadas, metros, milhas), desde que você seja consistente. Ângulo central é a largura da fatia da pizza, em graus (a unidade cotidiana, onde um círculo completo é 360°) ou radianos (a unidade matemática, onde um círculo completo é 2π ≈ 6,283). O comprimento do arco é a distância curva ao longo da borda do círculo que o ângulo percorre.
O seletor "Resolver para" controla qual destes três é o desconhecido: deixe-o em "Arco e setor" para calcular para frente a partir do raio e do ângulo, ou mude-o para "Raio" ou "Ângulo" para trabalhar para trás a partir de um comprimento de arco conhecido.
Limites e casos extremos
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O raio e o ângulo devem ser números positivos — um raio ou ângulo zero ou negativo não descreve um arco real. Ao resolver o ângulo a partir de um comprimento e raio de arco conhecidos, o comprimento do arco não pode exceder a circunferência do próprio círculo (2πr), uma vez que um único arco não pode ser maior do que todo o círculo ao qual pertence; a calculadora sinaliza isso em vez de retornar um ângulo maior que 360°.
Exatamente em um círculo completo (θ = 2π radianos = 360°), a fórmula da corda ainda funciona, mas se torna trivial — os dois "pontos finais" de um círculo completo são o mesmo ponto, então o comprimento da corda é 0, enquanto o comprimento do arco é igual à circunferência completa 2πr. Esta calculadora lida apenas com círculos planos (2D, euclidianos); não se destina a arcos em uma esfera ou outra superfície curva.
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Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Que fórmula esta calculadora usa para o comprimento do arco?+
Comprimento do arco s = rθ, onde r é o raio e θ é o ângulo central em radianos. Se você inserir graus, a calculadora converte primeiro para radianos (θ_rad = θ_deg × π/180), pois a fórmula só funciona em radianos.
Qual é a fórmula da área do setor?+
Área do setor = ½r²θ, com θ novamente em radianos. Esta é a mesma forma que a fórmula de área de círculo completo πr² - inserir θ = 2π (um círculo completo) dá ½r²(2π) = πr², confirmando que a fórmula é consistente no limite.
Como faço para converter graus em radianos?+
Multiplique o valor do grau por π/180 (aproximadamente 0,017453). Por exemplo, 60° × π/180 ≈ 1,0472 radianos. Esta calculadora faz a conversão automaticamente – basta escolher Graus ou Radianos no seletor de unidades próximo ao campo ângulo.
Qual é a fórmula do comprimento da corda e como ela difere do comprimento do arco?+
Comprimento da corda = 2r·sin(θ/2). A corda é a distância em linha reta entre as duas extremidades do arco, enquanto o comprimento do arco é a distância ao longo da curva. A corda é sempre mais curta que (ou, em θ = 0, igual a) o arco, pois uma linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos.
Esta calculadora pode resolver o raio ou o ângulo em vez do arco?+
Sim. Use o menu suspenso "Resolver para" para mudar a calculadora para o modo reverso: escolha "Raio" para resolver r = s/θ a partir de um comprimento e ângulo de arco conhecidos, ou escolha "Ângulo" para resolver θ = s/r a partir de um comprimento e raio de arco conhecidos.
O que acontece em um círculo completo de 360°?+
Em θ = 2π radianos (360°), a fórmula do comprimento do arco fornece s = 2πr — a fórmula familiar da circunferência — e a área do setor fornece A = πr², a fórmula familiar da área do círculo. O comprimento da corda cai para 0, uma vez que os "dois pontos finais" do arco são, na verdade, o mesmo ponto em um círculo completo.
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