A distribuição hipergeométrica responde a uma pergunta que a distribuição binomial não consegue: qual é a probabilidade de um determinado número de sucessos quando você extrai uma amostra de uma população finita e não coloca nada de volta? Mãos de cartas, sorteios de loteria e amostras de controle de qualidade de um lote final se enquadram nesse padrão. Esta calculadora calcula probabilidades exatas, no máximo e no mínimo, juntamente com a média e o desvio padrão da distribuição, para que você possa passar da população, dos sucessos e do tamanho da amostra diretamente para uma probabilidade utilizável.
Como funciona a fórmula hipergeométrica
O PMF hipergeométrico, P(X = k) = C(K,k)·C(N−K, n−k) / C(N,n), é uma proporção de contagens de combinação em vez de um produto de probabilidades. O numerador conta todas as maneiras de construir uma amostra com exatamente k sucessos: C(K,k) maneiras de escolher quais sucessos serão incluídos, vezes C(N−K, n−k) maneiras de preencher o resto da amostra com fracassos. O denominador, C(N,n), é o número total de amostras igualmente prováveis de tamanho n que você poderia extrair de toda a população, independentemente de quantos sucessos elas contenham. Dividir a contagem favorável pela contagem total dá a probabilidade exata — a mesma lógica combinatória por trás das probabilidades das mãos de cartas no pôquer e no bridge.
Entradas e o que elas significam
O tamanho da população (N) é o número total de itens disponíveis e deve ser um número inteiro. Esta calculadora suporta até 1.000 para estabilidade numérica. Sucessos na população (K) é quantos desses N itens contam como um 'sucesso' - deve estar entre 0 e N. O tamanho da amostra (n) é quantos itens você compra de uma vez sem reposição, também entre 0 e N. Sucessos observados (k) é a contagem que você está perguntando, e seu intervalo válido é mais estreito do que 0 a n: k não pode exceder K (não há mais sucessos para obter do que existem) e não pode ser tão baixo que exigiria mais fracassos do que realmente existem na população. O tipo de comparação funciona exatamente como a calculadora binomial — exatamente, no máximo ou pelo menos — mas sempre operando nesse intervalo limitado pela população.
Hipergeométrico vs. binomial: quando cada um se aplica
Ambas as distribuições contam sucessos em sorteios repetidos, mas respondem a configurações de amostragem diferentes. A distribuição binomial pressupõe que você amostra com substituição (ou de uma população efetivamente infinita), de modo que cada sorteio é independente e a probabilidade de sucesso p nunca muda. A distribuição hipergeométrica pressupõe que você faça uma amostragem sem de uma população finita e conhecida, de modo que cada sorteio altera as probabilidades do próximo – tirar uma copa de um baralho torna a próxima copa um pouco menos provável. Como regra geral, quando o tamanho da amostra n é pequeno em relação ao tamanho da população N (aproximadamente n/N abaixo de 5%), as duas distribuições dão respostas muito semelhantes e a fórmula binomial mais simples é frequentemente usada como aproximação. Quando N é pequeno ou n é uma fração grande de N — uma mão de pôquer de 5 cartas de um baralho de 52 cartas, por exemplo — a diferença é importante e a fórmula hipergeométrica é a correta.