Uma fração contínua reescreve um número como uma pilha aninhada de divisões inteiras, [a0; a1, a2, ...], e no processo revela as melhores aproximações racionais possíveis para esse número em todos os níveis de precisão. Este guia explica como a expansão é construída, para que servem os convergentes e como as frações contínuas se relacionam com duas calculadoras que você já pode estar usando: o algoritmo euclidiano por trás da calculadora GCF e LCM e frações simples.
Como a expansão é construída
A expansão funciona separando repetidamente um número em sua parte inteira e seu resto fracionário, depois virando o resto de cabeça para baixo e repetindo. Formalmente, an = floor(xn) e o próximo valor é xn+1 = 1 / (xn - an). Alimentar uma fração exata por meio deste processo é idêntico a executar o algoritmo euclidiano em seu numerador e denominador - a sequência de quocientes produzida é exatamente a sequência de quocientes parciais na fração contínua. É também por isso que a expansão de todo número racional termina: o algoritmo euclidiano sempre atinge um resto de 0 em um número finito de passos.
Para que servem os convergentes
Truncar a expansão após n termos fornece um pn/qn convergente, calculado a partir da recorrência pn = an·pn-1 +pn-2 e qn = an·qn-1 + qn-2. Os convergentes são provavelmente as melhores aproximações racionais disponíveis para o tamanho do seu denominador - nenhuma outra fração com um denominador tão pequeno se aproxima. É exatamente por isso que 22/7 e 355/113 são as aproximações clássicas para pi, porque as propostas de reforma do calendário usam convergentes de fração contínua do ano solar para decidir as regras dos anos bissextos e porque os trens de engrenagens mecânicas são projetados em torno de convergentes quando é impraticável cortar uma proporção exata.
Terminação vs. expansões infinitas
Todo número racional a/b tem uma fração contínua finita, e o último convergente sempre reconstrói a/b exatamente — a guia Etapas desta calculadora mostra que a terminação acontece ao vivo. Os números irracionais, por outro lado, têm expansões infinitas que nunca se repetem em uma correspondência exata; esta ferramenta limita a exibição na configuração de termos máximos escolhida (até 30) e rotula o resultado como limitado em vez de exato sempre que a verdadeira expansão continua. Se você estiver trabalhando com frações simples em vez de expansões, a Calculadora de Frações e a Calculadora de Fatoração Primária cobrem assuntos relacionados, e a Modulo Calculator expõe a operação restante a partir da qual esta expansão é construída.