A projeção vetorial divide um vetor a em duas partes em relação a um segundo vetor b: a parte de a que aponta ao longo de b (a projeção) e a parte restante que é perpendicular a b (a rejeição). Essa decomposição aparece constantemente na física, na computação gráfica e na estatística – em qualquer lugar que uma quantidade precise ser resolvida em um componente ao longo de uma direção escolhida e em um componente ortogonal a ela.

Como funciona a calculadora de projeção vetorial

A calculadora começa com o produto escalar a·b e a magnitude quadrada de b, |b|². Dividir o primeiro pelo segundo resulta em um único fator de escala; multiplicar b por esse fator produz proj_b(a), um vetor que sempre aponta ao longo da mesma linha que b (para frente se a·b for positivo, para trás se for negativo, e para o vetor zero se aeb forem perpendiculares).

A projeção escalar, a·b / |b|, é o mesmo fator de escala multiplicado por |b| — equivalentemente, é o comprimento assinado de proj_b(a). A rejeição é o que resta após subtrair a projeção de a, e é sempre perpendicular a b por construção: proj_b(a) e a rejeição são as duas peças ortogonais que somam o vetor original a.

Entradas e o que elas significam

O vetor a e o vetor b são inseridos como seus componentes x, y (e z, no modo 3D). O vetor b é a direção na qual está sendo projetada - trocar aeb altera o resultado, pois a projeção não é simétrica. Alternar entre 2D e 3D altera se os campos do componente z são mostrados; em 2D, z é tratado como 0 para ambos os vetores.

Limites e casos extremos

A projeção é indefinida quando b é o vetor zero, já que não há direção para projetar — a calculadora sinaliza isso explicitamente em vez de dividir por zero. Quando aeb são exatamente perpendiculares, a projeção colapsa para o vetor zero e a rejeição é igual ao próprio a, uma vez que nenhum de a aponta ao longo de b. Esta calculadora funciona com qualquer unidade consistente para os componentes do vetor — basta usar a mesma unidade para ambos os vetores.