O produto triplo escalar a·(b×c) combina o produto vetorial e o produto escalar em um único número que mede como três vetores se relacionam no espaço 3D. Ele informa o volume sinalizado do paralelepípedo que os vetores abrangem e se os três vetores são coplanares. Esta calculadora foi desenvolvida para estudantes e engenheiros que precisam de uma resposta rápida e confiável sem expandir o determinante manualmente.

Como funciona o produto triplo escalar

O produto triplo escalar é calculado como a · (b × c): primeiro considere o produto vetorial de b e c, que produz um novo vetor perpendicular a ambos, depois calcule o produto escalar desse resultado com a. Algebricamente, isso é idêntico a empilhar a, b e c como as três linhas de uma matriz 3×3 e calcular seu determinante – esta calculadora usa a forma do determinante internamente porque evita o arredondamento intermediário ao calcular o produto vetorial como uma etapa separada. O resultado é sempre um único número, nunca um vetor.

Entradas e o que elas significam

Cada campo é um componente de um dos três vetores 3D: ax, ay, az para o vetor a; bx, por, bz para o vetor b; e cx, cy, cz para o vetor c. Todos os nove campos são obrigatórios — não há modo 2D, uma vez que o produto triplo escalar só é definido para três vetores em três dimensões. A ordem é importante: a·(b×c) é o mesmo que b·(c×a) e c·(a×b) (a propriedade cíclica), mas trocar quaisquer dois vetores, ou trocar quaisquer dois componentes do mesmo vetor de forma inconsistente, inverte o sinal do resultado.

Limites e casos extremos

Quando o resultado é exatamente 0, os três vetores são coplanares — eles estão em um único plano e abrangem volume zero. Isso também acontece se quaisquer dois dos três vetores forem idênticos ou paralelos, ou se qualquer vetor for o vetor zero (0, 0, 0). Como a aritmética de ponto flutuante pode deixar um pequeno ruído de arredondamento (por exemplo, 0,0000000000000002 em vez de um 0 limpo), esta calculadora ajusta resultados próximos de zero a exatamente 0 usando uma tolerância com reconhecimento de escala, de modo que entradas genuinamente coplanares são relatadas como coplanares em vez de como um número perdido próximo de zero.