O traço é um dos números mais simples que você pode calcular a partir de uma matriz quadrada, mas contém uma quantidade surpreendente de estrutura - desde uma rápida verificação de sanidade em cálculos manuais até um atalho para a soma dos autovalores de uma matriz. Este guia aborda como calculá-lo, o que significa e onde aparece na álgebra linear.
Como o rastreamento é calculado
O traço de uma matriz n×n A, escrito tr(A), é definido como a soma das entradas em sua diagonal principal: tr(A) = A₁₁ + A₂₂ + ... + Aₙₙ. Todas as outras entradas na matriz – tudo fora da diagonal – são completamente ignoradas. Isso torna o traço uma das quantidades de matriz mais baratas para calcular: sem multiplicação, sem recursão, apenas uma adição de n números.
Como o traço depende apenas de matrizes quadradas, uma matriz não quadrada (digamos, uma matriz 3×4) simplesmente não tem traço definido. Esta calculadora sempre constrói uma grade quadrada n×n exatamente por esse motivo.
Por que o traço é igual à soma dos autovalores
Uma das propriedades mais úteis do traço é que tr(A) sempre é igual à soma dos autovalores de A, contados com multiplicidade algébrica — mesmo quando esses autovalores são irracionais, complexos ou repetidos. Isso decorre do polinômio característico de A: o coeficiente no termo do segundo grau mais alto é (até o sinal) o traço, e pelas fórmulas de Vieta esse coeficiente também é igual à soma das raízes do polinômio, que são exatamente os autovalores.
Isso fornece uma verificação parcial rápida em um cálculo de autovalor - se você calcular autovalores manualmente ou com software e eles não somarem o traço que você calculou diretamente da diagonal, algo deu errado errado.
Propriedades úteis e casos extremos
O traço é aditivo: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) para quaisquer duas matrizes quadradas do mesmo tamanho. Também é cíclico na multiplicação: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), embora a multiplicação de matrizes em si não seja comutativa (AB ≠ BA em geral). Essa propriedade cíclica é a razão pela qual o traço aparece constantemente na física e na estatística — ela permite reorganizar cadeias de produtos de matrizes sem alterar o resultado.
Um caso especial que vale a pena lembrar: o traço de qualquer matriz identidade n×n é simplesmente n, já que cada entrada diagonal é 1. E como o traço ignora cada entrada fora da diagonal, duas matrizes de aparência muito diferente podem compartilhar exatamente o mesmo traço — é um invariante, não uma impressão digital.