A multiplicação de matrizes combina duas matrizes em uma nova usando produtos escalares linha por coluna, e não uma simples multiplicação entrada por entrada. Esta calculadora calcula A×B para matrizes até 4×4, mostra a expansão completa do produto escalar para cada célula do resultado e verifica a regra de dimensão que decide se a multiplicação é mesmo possível.
Como funciona a multiplicação linha por coluna
A multiplicação de matrizes não multiplica matrizes entrada por entrada da mesma forma que a adição. Em vez disso, cada entrada do produto C vem de um produto escalar: para encontrar C[i][j], a calculadora caminha ao longo da linha i da matriz A e desce pela coluna j da matriz B ao mesmo tempo, multiplicando pares de números correspondentes e somando os resultados. Para uma matriz 2×3 A e uma matriz 3×2 B, cada entrada de C é a soma de três produtos, um para cada índice compartilhado.
A guia Etapas lista essa expansão para cada célula do produto, então C[1][1] = A[1][1]·B[1][1] + A[1][2]·B[2][1] + A[1][3]·B[3][1], com o total acumulado mostrado no final da linha. Como o número de termos em cada produto escalar é sempre igual à dimensão interna compartilhada – as colunas de A, que devem corresponder às linhas de B – matrizes maiores simplesmente adicionam mais termos por célula em vez de alterar o método subjacente. Trabalhar manualmente em uma linha junto com a guia Etapas é a maneira mais rápida de criar intuição para a fórmula.
Lendo a regra de dimensão
Duas matrizes só podem ser multiplicadas quando o número de colunas da primeira corresponde ao número de linhas da segunda — se A for m×n e B for n×p, só então A×B existe, e o resultado é sempre m×p. Esta calculadora mantém a matriz A e a matriz B em seletores de tamanho totalmente independentes com precisão para que você possa explorar ambos os lados dessa regra: escolha tamanhos compatíveis e o produto aparecerá imediatamente ou escolha os incompatíveis e a guia Verificação de dimensão explica exatamente por que a multiplicação falha.
A regra é fácil de lembrar erroneamente, pois "as matrizes devem ter o mesmo tamanho", mas isso só é verdade para matrizes quadradas de dimensão igual; em geral A×B e B×A podem ter formas completamente diferentes, ou uma pode existir enquanto a outra não. Observar a atualização do indicador ✓/✗ ao vivo conforme você altera a contagem de linhas ou colunas da matriz é uma maneira rápida de internalizar quais pares de dimensões realmente funcionam.
Limites e casos extremos
Esta calculadora suporta matrizes de até 4×4 em cada lado, o que cobre a grande maioria dos problemas feitos à mão e do tipo lição de casa, mantendo cada etapa do produto escalar legível na tela. A multiplicação não é comutativa - trocar a ordem para calcular B×A pode produzir uma matriz totalmente diferente, ou pode nem mesmo ser definida se as dimensões não estiverem mais alinhadas – então a calculadora sempre calcula A×B na ordem em que as matrizes são inseridas, nunca o inverso. Para operações além da multiplicação - adição, subtração, multiplicação escalar, transposição, determinante, inverso ou resolução de sistemas de equações - a Calculadora Matriz de uso geral lida com tudo isso em uma ferramenta, enquanto as calculadoras dedicadas Determinante Matriz e Matriz Inversa oferecem detalhamentos passo a passo mais profundos para essas duas operações específicas.