O produto escalar é uma das operações mais úteis em álgebra vetorial: ele transforma dois vetores em um único número que informa o quanto eles apontam na mesma direção. Esta calculadora calcula a · b para vetores 2D ou 3D, converte esse resultado no ângulo entre os vetores e sinaliza quando os vetores são ortogonais.
Como funciona a calculadora de produto escalar
Dados dois vetores a e b da mesma dimensão, a calculadora soma os produtos de seus componentes correspondentes: a · b = axbx + ayby (2D) ou axbx + ayby + azbz (3D). Em seguida, ele calcula a magnitude de cada vetor (|a| e |b|) e usa a identidade a · b = |a||b|cos θ para resolver o ângulo θ = arccos((a · b) / (|a||b|)). Finalmente, ele verifica se a · b é igual a zero (dentro da tolerância de ponto flutuante) para relatar a ortogonalidade.
Entradas e o que elas significam
Escolha 2D ou 3D no seletor de dimensão e insira os componentes x, y (e z, para 3D) do vetor a e do vetor b. Os componentes podem ser positivos, negativos, zero ou decimais. Não há conversão de unidades — o resultado está nas mesmas unidades que suas entradas (por exemplo, se seus componentes estiverem em metros, o produto escalar e as magnitudes estarão em unidades baseadas em metros e o ângulo será sempre relatado em graus). O sinal do produto escalar é informativo por si só: positivo significa que os vetores geralmente apontam na mesma direção (ângulo inferior a 90°), negativo significa que geralmente apontam para direções opostas (ângulo superior a 90°) e zero significa que são exatamente perpendiculares.
Limites e casos extremos
O ângulo entre vetores é indefinido quando qualquer um dos vetores tem magnitude zero — não há direção para medir a partir de um vetor zero, então as guias Ângulo Entre e Verificação Ortogonal mostrarão uma mensagem em vez de um número nesse caso. Esta calculadora lida com vetores 2D e 3D; para produtos escalares de dimensões superiores (nD), a mesma fórmula Σaᵢbᵢ se aplica, apenas estendida com mais termos - você pode calculá-los manualmente ou com uma ferramenta matemática de uso geral. O arredondamento de ponto flutuante significa que a verificação de ortogonalidade usa uma pequena tolerância numérica em vez de exigir que o produto escalar seja exatamente 0.