A expansão do cofator (Laplace) é o método de uso geral para calcular manualmente um determinante de matriz: escolha qualquer linha ou coluna, multiplique cada entrada por seu determinante menor com sinal e some os resultados. Esta calculadora permite que você escolha essa linha ou coluna para uma matriz 3 × 3 ou 4 × 4 e, em seguida, mostra cada menor, cada cofator e a equação totalmente substituída - as mesmas etapas trabalhadas que um curso de álgebra linear esperaria que você escrevesse.
Como funciona a expansão do cofator
Escolha uma linha (ou coluna) para expandir. Para cada entrada nessa linha, exclua sua linha e coluna da matriz para obter uma matriz "menor" menor e, em seguida, pegue o determinante desse menor. Multiplique a entrada pelo determinante menor e por um sinal alternado (+, -, +, - em um padrão xadrez baseado na posição) e, em seguida, some todos esses produtos assinados. O resultado é o determinante de toda a matriz — e ele é idêntico, não importa qual linha ou coluna você escolha.
Para uma matriz 4×4, cada menor é em si uma matriz 3×3, então a calculadora calcula esse determinante menor diretamente antes de combiná-lo na soma de nível superior. A guia Etapas de expansão mostra a fórmula, os números substituídos e o total acumulado que resulta na resposta final.
Entradas e o que elas significam
Escolha um tamanho de matriz (3×3 ou 4×4), preencha a grade com quaisquer números reais e escolha uma linha ou coluna no seletor Expand Along. Não há conversão de unidades envolvida – a calculadora funciona com os números exatamente como inseridos. Use os botões predefinidos para carregar a matriz de identidade, um exemplo resolvido ou uma grade em branco para começar do zero.
Por que a escolha da linha ou coluna é importante (e não)
Matematicamente, cada linha e coluna fornece exatamente o mesmo determinante — essa é uma propriedade central da expansão do cofator. Na prática, porém, algumas escolhas são muito mais rápidas de calcular manualmente: uma linha ou coluna com mais entradas zero significa que mais termos do cofator desaparecem automaticamente, uma vez que qualquer coisa multiplicada por zero não contribui em nada para a soma. Tente alternar o seletor Expand Along entre uma linha com zero e uma linha cheia de números diferentes de zero para ver a redução aritmética.
Limites e casos extremos
Esta calculadora suporta apenas matrizes 3×3 e 4×4. Para um determinante calculado com um método fixo mais uma verificação singular/invertível, consulte Calculadora de Determinante Matricial; para o inverso através do método adjugado (matriz cofator), consulte a Calculadora Matriz Inversa; para matrizes maiores ou redução de linhas de Gauss-Jordan, use a Calculadora de Matrizes geral.