Calcule o volume e a área de superfície de um toro (donut) a partir de seus raios maiores e menores ou resolva de trás para frente a partir de um volume ou área de superfície alvo.
Raios
O raio maior (R) é a distância do centro do toro ao centro do tubo; o raio menor (r) é o raio do próprio tubo. Para um donut normal (sem auto-interseção), r deve ser menor que R.
Experimente:
Volume
—
Insira os raios maiores e menores acima para ver o volume.
—
Área de superfície
Insira os raios maiores e menores acima para ver o volume do toro.
Etapas trabalhadas
Área de superfície
—
Insira os raios maiores e menores acima para ver a área da superfície.
—
Volume
Insira os raios maiores e menores acima para ver a área da superfície do toro.
Etapas trabalhadas
Resolva o raio ausente
Insira um volume alvo ou área de superfície mais o raio que você já conhece e a calculadora calcula o outro raio.
Raio ausente
—
Insira uma medida alvo e um raio conhecido acima.
Etapas trabalhadas
4 min de leitura3 etapas10 termos3 exemplos6 perguntasV = 2π² · R · r²
Um toro tem dois parâmetros livres - o raio maior R e o raio menor r - e seu volume e área de superfície seguem diretamente de ambos por meio do teorema do centróide de Pappus.
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
1
Insira os raios maiores e menores
Digite o raio maior (R) — a distância do centro de todo o toro ao centro do tubo — e o raio menor (r) — o raio do próprio tubo. Escolha uma unidade; é apenas um rótulo de exibição, já que a matemática é independente de unidade.
2
Leia o volume e a área de superfície
A guia Volume lidera com V = 2π²Rr² e mostra a área de superfície como uma estatística de suporte; a guia Área de Superfície inverte isso, começando com SA = 4π²Rr. Ambos são atualizados instantaneamente conforme você altera R ou r.
3
Resolva de trás para frente se precisar
Mude para a guia Raios para ir na outra direção: insira um volume alvo ou área de superfície mais o raio que você já conhece, e a calculadora resolve o raio ausente, mostrando as etapas trabalhadas.
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Referência
Fórmula e metodologia
4 fórmulas▸
Volume de um toro
V = 2π² · R · r²
R é o raio maior (centro do toro ao centro do tubo), r é o raio menor (raio do tubo). O volume é dimensionado com o quadrado do raio menor, portanto, duplicar a espessura do tubo quadruplica o volume. As unidades são cúbicas (por exemplo, pés cúbicos, centímetros cúbicos).
Área de superfície de um toro
SA = 4π² · R · r
A área total da superfície externa do toro. A área de superfície é dimensionada linearmente com ambos os raios, portanto, duplicar qualquer um deles duplica a área de superfície. As unidades são quadradas (por exemplo, pés quadrados, centímetros quadrados).
Resolvendo para trás
r = √(V ÷ 2π²R) or R = V ÷ (2π²r²) or r = SA ÷ (4π²R) or R = SA ÷ (4π²r)
Cada fórmula direta pode ser invertida para recuperar um raio ausente de um volume ou área de superfície alvo, dado o outro raio. A guia Raios desta calculadora executa qualquer inversão que corresponda às suas entradas.
Teorema do centróide de Pappus
V = A · d, SA = P · d
Ambas as fórmulas do toro são um caso especial do teorema de Pappus: varrer uma forma (aqui, um círculo de raio r) em torno de um eixo externo produz um volume igual à área da forma (A = πr²) vezes a distância que seu centróide percorre em uma revolução (d = 2πR). A mesma lógica fornece a área de superfície do perímetro do círculo (P = 2πr).
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Glossário
Principais termos explicados
10 termos▸
ToroUma superfície tridimensional em forma de anel formada pela rotação de um círculo em torno de um eixo que está no mesmo plano do círculo, mas não o intercepta - o nome matemático para um formato de rosca.
Raio principalA distância (R) do centro de todo o toro até o centro do tubo — essencialmente, o raio do furo central do donut mais metade da espessura do tubo.
Raio menorO raio (r) do próprio tubo — a espessura do anel roscado, medida do centro da seção transversal do tubo até sua borda externa.
RosquinhaO nome comum para um toro - uma forma de anel com um orifício no meio, cujo volume e área de superfície seguem as mesmas fórmulas, quer você esteja descrevendo uma massa ou uma superfície matemática.
RevoluçãoO ato de girar uma forma bidimensional (aqui, um círculo) 360° em torno de um eixo para varrer um sólido tridimensional — o toro é gerado girando um círculo de raio r em torno de um eixo a uma distância R de seu centro.
TuboA seção transversal circular que, ao girar em torno do eixo central, forma o anel do toro. O raio do tubo é o raio menor (r).
pés quadrados (ft²)Unidade de área do sistema usual dos Estados Unidos. 1 ft² = 0,09290304 m².
pés (ft)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 pé (ft) = 12 polegadas (in) = 0,3048 m.
polegadas (in)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 polegada (in) = 2,54 cm.
jardas (yd)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 yd = 0,9144 m.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Cálculo futuro
Raio maior = 5, raio menor = 2
Raio principal 5 ftRaio menor 2 ft
Com um raio maior de 5 pés e um raio menor de 2 pés, o volume é de cerca de 394,78 pés³ e a área de superfície é de cerca de 394,78 pés². Este é o exemplo padrão da calculadora - uma verificação limpa de que ambas as fórmulas concordam com os valores de referência padrão para R=5, r=2.
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Resolvendo de trás para frente a partir do volume
Volume alvo = 394,78, raio principal conhecido = 5
Medida alvo Volume = 394,78 pés³Raio conhecido Raio principal = 5 pés
Dado um volume alvo de 394,78 pés cúbicos e um raio maior conhecido de 5 pés, resolver r = √(V ÷ 2π²R) recupera um raio menor de cerca de 2,00 pés - o mesmo toro do primeiro exemplo, trabalhado ao contrário. Esse padrão se aplica a problemas como dimensionar um tanque em forma de anel ou gaxeta para atingir a capacidade necessária.
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Moldura de donut do mundo real
Um donut com uma extensão de furo a furo de 4 polegadas e um anel de 1 polegada de espessura
Raio principal 2 inRaio menor 1 in
Para um toro do tamanho de um donut com raio maior de 2 pol e raio menor de 1 pol, o volume chega a cerca de 39,48 pol³ e a área de superfície a cerca de 78,96 pol². Como r não é menor que R aqui, esta forma específica fica no limite de autointerseção - um lembrete de que os donuts reais sempre mantêm o raio menor significativamente menor que o raio maior para evitar um furo comprimido ou sobreposto.
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Referência
Citar esta calculadora
APA e MLA▸
Use um destes formatos para citar esta calculadora em um trabalho ou relatório.
APA
MLA
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Análise detalhada
Volume e área de superfície do toro e como eles se relacionam com um donut
Um toro tem dois parâmetros livres - o raio maior R e o raio menor r - e seu volume e área de superfície seguem diretamente de ambos por meio do teorema do centróide de Pappus. Esta calculadora lida com a direção direta (raios de entrada, volume e área de superfície externa) e a direção reversa (uma medida alvo mais um raio conhecido, resolvendo o outro).
Por que as fórmulas se parecem com a área e a circunferência de um círculo, vezes 2πR
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Um toro é gerado girando um círculo de raio r em torno de um eixo a uma distância R do centro do círculo. O teorema do centróide de Pappus diz que o volume resultante é igual à área do círculo (πr²) vezes a distância que seu centróide percorre em uma revolução completa (2πR) - dando V = πr² × 2πR = 2π²Rr². A área da superfície funciona da mesma maneira usando o perímetro do círculo (2πr) em vez de sua área: SA = 2πr × 2πR = 4π²Rr. Ambas as fórmulas são, na verdade, apenas "medida de forma vezes distância de varredura".
O limite de autointersecção: quando r ≥ R
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Um toro em forma de rosca padrão exige que o raio menor seja menor que o raio maior (r < R) - caso contrário, o tubo teria que passar pelo eixo central, produzindo um "toro de chifre" comprimido (r = R) ou um "toro de fuso" auto-interceptado (r > R) em vez de um anel normal. As fórmulas de volume e área de superfície ainda calculam um número em ambos os casos, mas a forma que descrevem não é mais uma simples rosquinha, então esta calculadora sinaliza a condição quando ela ocorre.
Quando você precisa resolver de trás para frente
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A maioria dos problemas dos livros didáticos fornecem raios e pedem volume ou área de superfície. Os problemas do mundo real muitas vezes acontecem no sentido inverso: você sabe que uma peça em forma de anel precisa manter um certo volume ou sabe quanto material cobre sua superfície e precisa encontrar a dimensão que falta. Resolver para trás significa inverter a fórmula direta para qualquer raio desconhecido. A guia Raios desta calculadora faz isso automaticamente com base na medida e no raio conhecido que você selecionar.
❓
Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Qual é a fórmula do volume de um toro?+
V = 2π²Rr², onde R é o raio maior (centro do tubo ao centro do toro) e r é o raio menor (raio do tubo). Para R = 5 e r = 2, são cerca de 394,78 unidades cúbicas.
Qual é a fórmula da área de superfície de um toro?+
SA = 4π²Rr, usando o mesmo raio maior R e raio menor r. Para R = 5 e r = 2, isso equivale a cerca de 394,78 unidades quadradas – coincidentemente igual ao volume neste exemplo específico.
Qual é a diferença entre raio maior e menor?+
O raio maior (R) é a distância do centro de todo o toro ao centro do tubo. O raio menor (r) é o raio do próprio tubo – a espessura do anel roscado. R mede o tamanho do anel; r mede a espessura do material que o forma.
Um toro é o mesmo que um donut?+
Sim - um toro é o nome matemático para um formato de rosca: um anel formado pela rotação de um círculo de raio r em torno de um eixo a uma distância R do centro do círculo, desde que r permaneça menor que R.
Quais unidades a calculadora usa?+
Tanto o raio maior quanto o menor usam qualquer unidade linear selecionada (polegadas, pés, jardas, centímetros ou metros). O volume usa automaticamente essa unidade ao cubo e a área de superfície usa automaticamente essa unidade ao quadrado.
Como o teorema de Pappus se relaciona com essas fórmulas?+
Ambas as fórmulas são uma aplicação direta do teorema do centróide de Pappus: girar um círculo de área πr² e perímetro 2πr em torno de um eixo externo a uma distância R varre um volume de (πr²)(2πR) = 2π²Rr² e uma área de superfície de (2πr)(2πR) = 4π²Rr.
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